2013届华附、省实、广雅三校

广州一模后联合适应性考试理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．设集合
（ ）

A．
B．
DC．
D.

2．已知函数
，若
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列命题不正确的是

A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；

B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；

C．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；

D．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

4.函数

的图象的大致形状是 （ ）

?

?

?

?

?

?

?

5. 设A1、A2为椭圆
的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的

点
，使得
，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

6在直三棱柱
中，
，
. 已知Ｇ与Ｅ分别为
和
的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段
和
上的动点（不包括端点）. 若
，则线段
的长度的取值范围为

A.
B.
C.
D.

7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为

A. 0.0324 B.0.0434 C.0.0528 D.0.0562

8.任意
、
，定义运算
，则
的

A.最小值为
B.最小值为
C.最大值为
D.最大值为

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题
：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 若框图（图1）所给程序运行的结果
，那么

判断框中可以填入的关于
的判断条件是_ ____．

10. 已知定义域为
的函数
满足①
，②

，若
成等差数列，则
的值为 ．

若对一切
R，复数
的模不超过2，则实数
的取值范围为 .

12.设O点在
内部，且有
，则
的面积与
的面积的比为 .

记集合
，
，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是 .

选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分

14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，
，
为
的中点，
的延长线交⊙O于点
，则线段
的长为_______.

15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程
，直角坐标系中的点M的坐标为（0，2），P为曲线C上任意一点，则
的最小值是 .

三、解答题：本大题
共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题12分）

已知
（其中
）的最小正周期为
.

求
的单调递增区间;

在
中,
分别是角
的对边,已知
求角
.

17.（本小题满分12分）

在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：

（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数
的分布列与期望.

18.（本小题14分）

如图2,在四面体
中,
且

(1)设
为
的中点,证明:在
上存在一点
,使
,并计算
的值;

(2)求二面角
的平面角的余弦值.

19.（本小题14分）

在平面直角坐标系xoy中，给定三点
，

点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过
的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

20.（本小题14分）

已知
是方程
的两个不等实根，函数
的定义域为
。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）证明：对于
，若

。

21.（本小题14分）

（I）已知数列
满足

，
满足
，

，求证：
。．

（II) 已知数列
满足：a
=1且
。设m
N
，m
n
2，证明（a
+
）
（m-n+1）

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广州一模后联合适应性考试

数学试题（理科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



选项

D

B

C

D

D

A

B

B



二、填空题（每题5分，共30分）

9．
10．2或3 11．
12．3 13．

14．
15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解:(1)

…………2分

…………4分

故递增区间为
…………6分

(2)

即
或

又
故
舍去，

. …………9分

由
得

或
,

若
,则
.

若
,则
. …………12分

注意：没有说明 "
"扣两分

17.解：(1)设
表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则
表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得

.…………4分

(2)
的可能取值为
,…………5分

…………8分

从而
的分布列为

0

1

2

3

4

5



















…………10分

所以,
. …………12分

18.

解法一:（1）在平面
内作
交
于
，连接
.…………1分

　 又
，　

　　
，

　　
。

　　取
为
的中点，则

…………4分

在等腰
中，
，

在
中，
，
…………4分

在
中，
，

…………5分

…………8分

（2）连接
，

由
，
知：
.

又
，

又由
，
.

又

,

又

是
的中点,

,

,
,

为二面角
的平面角 …………10分

在等腰
中，
，

在
中，
，

在
中,
. …………12分

…………14分

解法二：在平面
中,过点
,作
交
于
,取
为坐标原点，分别以
，
,
所在的直线为
轴，
轴,
轴，建立空间直角坐标系
（如图所示） …………1分

则

为
中点，
…………2分

设

.

即
，
. …………6分

所以存在点
使得
且
. …………8分

（2）记平面
的法向量为
,则由
，
，且
，

得
， 故可取
…………10分

又平面
的法向量为
. …………11分

. …………13分

二面角
的平面角是锐角，记为
，则
…………14分

19.解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为
。点
到AB、AC、BC的距离依次为
。依设，
，即
，化简得点P的轨迹方程为

圆S：

…………5分

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：
①

与双曲线T：
②

的内心D也是适合题设条件的点，由
，解得
，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为

③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线
平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

…………8分

（ii）当
时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率
，直线L的方程为
。代入方程②得
，解得
。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当
时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 …………11分

情况2：直线L不经过点B和C（即
），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
有且只有一组实数解，消去y并化简得

该方程有唯一实数解的充要条件是
④

或
⑤

解方程④得
，解方程⑤得
。

综合得直线L的斜率k的取值范围
。 ………14分

20.解:（Ⅰ）设

则

又

故
在区间
上是增函数。 ………3分

………6分

（Ⅱ）证：

………9分

....15分

，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，

………14分

21.证明：

（I）记
，则
。 …… 2分

而

。 ……………… 4分

因为
，所以
。 ………………… 5分

从而有