2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期末考试

数学理试题

本卷满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．抛物线的准线方程是

A． B． C． D．

2．直线
（为实常数）的倾斜角的大小是

A．
B．
C．
D．

3．已知，，且∥，则

A． B．

C． D．

6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．双曲线
与椭圆
的离心率互为倒数，则（　　）

A．
B．
C．
D．

8．一个动圆与定圆：
相内切，且与定直线
：
相切，则此动圆的圆心
的轨迹方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．直线
与曲线
的交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．三棱锥
中，
两两垂直且相等，点
分别是线段
和
上移动，且满足
，
，则
和
所成角余弦值的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．

11．双曲线
的渐近线方程是_________________．

12．在空间直角坐标系中，若
两点间的距离为10，则
__________．

13．直线
的倾斜角的余弦值为______________________．

14．如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度
等于灯口直径
，且为64
，则光源安装的位置到灯的顶端
的距离为____________
．

15．在正方体
中，直线
与平面
所成角的大小为____________．

16．若圆
与圆
的公共弦的长为8，则
_____．

17．对于曲线
有以下判断：（1）它表示圆；（2）它关于原点对称；（3）它关于直线
对称；（4）
．其中正确的有________（填上相应的序号即可）．

三、解答题（本大题共4小题，满分52分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

18．（本题满分12分）如图，已知长方形
的两条对角线的交点为
，且
与
所在的直线方程分别为
．

（1）求
所在的直线方程；

（2）求出长方形
的外接圆的方程．

19．（本题满分12分）已知命题：存在
使得
成立，命题：对于任意
，函数
恒有意义．

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若
是假命题，求实数的取值范围．

20．（本题满分14分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
，

，
，底面
是边长为的正三角形，其重心为
点，是线段
上一点，且
．

（1）求证：
侧面
；

（2）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值．

21．（本题满分14分） 已知椭圆
的右焦点为，
为上顶点，
为坐标原点，若△
的面积为
，且椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线
交椭圆于，
两点， 且使点为△
的垂心？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．

2014-2015学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期末考试

数学理试题参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

B

C

D

B

B

D

B

C



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．

11．
12．
13．
14． 15．

16．
或
17．（2）、（3）

三、解答题（本大题共4小题，满分52分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．

18．解：（1）由于
，则
…………2分

由于
，则可设直线
的方程为：
，

又点到
与
的距离相等，则
，

因此，
，或
（舍去），

则直线
所在的方程为
． ………………6分

（2）由直线
的方程解出点的坐标为

则
即为长方形
的外接圆半径 ………10分

故长方形
的外接圆的方程为
． …………………12分

19．（1）设
，对称轴为

若存在一个
满足条件，则
，得
，…………3分

若存在两个
满足条件，则
，得
，

故满足条件的实数的取值范围为
………………………6分

（2）由题意知
都为假命题，若为假命题，则
或
…………………8分

若为假命题，则由
得
或
…………10分

故满足条件的实数的取值范围为
或
………12分

20．解：（1）证明：连接
并延长与
交于点，则由题意及相似关系可知点为
的中点，

所以
三点共线，从而可得
， ……………4分

因此
侧面
． ………………6分

（2）经过
点作
的垂线与
的延长线交于点，则
，经过点作
的垂线与
的延长线交于点
，则
，所以
即为所求二面角的平面角…………………10分

且
，则
，并由相似关系得：
，故
，即为所求二面角的正切值．……………………14分

21．解：（1）由题意可得
，…………………………2分

解得
，
，故椭圆方程为
． …………………6分

（2）假设存在直线
交椭圆于，
两点，且为△
的垂心，

设
，

因为
，
，故
． ………………7分

于是设直线
的方程为
，

由
得
．

由
，得
， 且
,
． …………9分

由题意应有
，又
，

故
，得
．

即
． …………11分

整理得
．

解得
或
．经检验，当
时，△
不存在，故舍去
．

当
时，所求直线
存在，且直线
的方程为
． ………14分