成都七中期末复习立体几何

数学组 肖志良

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

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判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直



 ?l⊥α



推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面



?b⊥α





3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言



性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行



?a∥b





二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

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判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直



?α⊥β





2．平面与平面垂直的性质定理

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性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面



 ?l⊥α



1．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直

2.如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)

A．A1D　　 B．AA1 C．A1D1 D．A1C1

3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的个数为(　　)

A．1　　　 B．2 C．3 D．4

5.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

。①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l?β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是(　　)

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

6.给出命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α， l∥m，则m⊥α；

(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．

其中正确命题个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．△ABC内部

8.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　　)

A．①② B．①②③

C．① D．②③

9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

10.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

11.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

12．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________．

①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.

13.若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．

14如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

15.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．

16.点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是________．

17.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．

(1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；

(3)证明：EF⊥平面PAB.

18.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

19.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．

(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若点M在线段PC上，且PM＝tPC(t>0)，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.

21.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC.

22.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.

23.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD＝DC＝CB＝AE＝a，∠ACB＝.

(1)求证：BC⊥平面ACFE；

(2)若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM的长．

24.如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.

(1)现给出三个条件：①PB＝；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．

25.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.

26.如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上的一动点．

(1)求证：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．