天津市五区县2014～2015学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试卷参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

C

A

B

D

B

A

D

C



二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11．
　12．
13．
　 14．
　15．或

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）

解：（Ⅰ）圆
的方程可化为
………………………2分

令
得
……………………………………………………4分

（Ⅱ）圆
：
，圆心
(1,2)，半径

圆：
，圆心 (-3,-1)，半径
……………6分

圆
与圆相外切

∴
，解得
………………………8分

圆心
(1,2)到直线
的距离为
……10分

∴
………………………………………12分

17．（12分）

解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系
,

依题意得
，
，
，
，
，

………………………………………………2分

（Ⅰ）易得
，
，
…………3分

于是
，

…………4分

∴
…………5分

又
，

∴
…………………6分

（Ⅱ）依题可知
，

故
为平面
的一个法向量 …………………………7分

又可解得
…………………………8分

故设平面
的一个法向量为

则
即
不妨令
，可得
……10分

于是

所以二面角
的余弦值为
…………………………12分

18．（12分）

解： （Ⅰ）抛物线
的准线为

∴
，即
…………………………………………2分

∴抛物线
的方程为
…………………………………………4分

（Ⅱ）设
，

由方程组
消去，整理得

令
，即

① ………………………………………6分

求解可得
，

……………………………8分

∴

∴
，解得
或

② …………………10分

由①②得，

∴直线
的方程为
………………………………………………12分

19．（12分）

解：（Ⅰ）连接
交
于
，连接
…………………1分

四边形
为正方形

∴
为
的中点，

又是
中点

∴
………………………………3分

，

∴
………………………………4分

（Ⅱ）过
作
于，连接

∴
………………………5分

∴
为直线
在平面
上的投影

∴
为直线
与平面
所成的角………………………6分

在

中

，

在
中

………………………7分

在

中，
…………………8分

（Ⅲ）当
时，
⊥
…………………9分

在正方形
中，
分别是
的中点

∴
，∴

∴

∴
………………………………10分

由（Ⅱ）可知

，∴

，∴

∴
⊥
………………………………11分

在

中
…………………………12分

20．（12分）

解： (Ⅰ)抛物线
的焦点坐标为
…………………………1分

椭圆
：
的一个顶点与抛物线
的焦点重合

∴
…………………………2分

又
，∴
…………………………4分

∴椭圆
的方程为：
……………………………5分

(Ⅱ) 设点
，由
得直线
的方程为
，

………………………………6分

由方程组
消去，整理得
……8分

求解可得
，
………………………………9分

，

=

+

＝
………………………………10分

因为以
为直径的圆过点
，所以
………………………………11分

解得
………………………………12分