一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）

1.已知全集
，
，
，则
等于（ ）

A.

B.
C.
D.

2.下列各组函数表示相等函数的是(　　)

A.
与
B.
与

C.
与
D.
与

3.若直线
与直线
互相垂直，那么的值等于(　　)

A． B．
C．
D．

在
中，已知
，
，
，则等于 （ ）

A．
B．
C．
D．以上都不对

如右图所示，程序框图的输出结果是 （ ）

A.
B. C.
D.

6.已知函数
，则
的值是 （ ）

A. B.
C. D.

7.函数
（ ）

A．是奇函数但不是偶函数

B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

8.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）

A.
,
,
B.
,
,

C.
,
,
D.
,
,

9.甲、乙两人相互独立地练习投篮，甲一次命中的概率为
，乙一次命中的概率为
，甲、乙两人各投篮一次都命中的概率为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为（ ）

A.
B.

C.
D.

11.函数
的定义域为（ ）

A.
B.

C.
D.

12.在正方体
中，
、
分别为棱
、
的中点，则异面直线
与
所成的角是 （ ）

A.
B.
C．
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）

13.已知非零向量
，
，若
，且
，又知
，

则实数
的值为_______________.

14.一个球的大圆面积为
，则该球的体积为_____________.

15.已知圆
与直线
相切，则圆
的半径＝____________________.

16.在
中，若
，则
的形状为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）已知等差数列
的前项和为
，且
，
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，求证：
是等比数列，并求其前项和
.

18.(本题满分12分)已知
为坐标原点，且
，

，

函数
．

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
的最小正周期及最值．

19.（本题满分12分）如图，在三棱柱
中，
，
，
.

（1）证明
；

（2）若
，
，求三棱柱
的体积
．

20.（本题满分12分）高一军训时，某同学射击一次，命中
环，
环，
环的概率分别为
,
,
.

求射击一次，命中
环或
环的概率；

求射击一次，至少命中
环的概率；

求射击一次，命中环数小于
环的概率.

21.(本题满分12分)如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，已知
，
，
，
，
.

求证：
；

求异面直线
与
所成的角的正切值（文科生做）；

求二面角
的正切值（理科生做）.

22.(本题满分12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为
，
，
，且第一小组的频数为
.

（1）求第四小组的频率；

（2）参加这次测试的学生一共有多少人？

（3）若次数在
次以上(含
次)为达标，试估计该年级学生在跳绳测试中的达标率是多少？

芒市一中高二数学期末答案

18．本小题满分12分

已知点
，点

，且函数
．

（I）求函数
的解析式；（II） 求函数
的最小正周期及最值．

解（1）依题意，
，点
， ………… 1分

所以,
． …………… 4分（2）

．…8分。 因为
，所以
的最小值为
，
的最大值为。 …10分。
周期
. ……12分

19． (本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（文科生做）

(3)求二面角P－BD－A的正切值．（理科生做）

[解析]　(1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，

∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB.

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.

(2)∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB＝＝.

由(1)知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，

则△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝.

∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为.

(3)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.

∵AD⊥平面PAB，PH?平面ABCD，∴AD⊥PH.

又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.

又∵PH?平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.

又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE.

而PE?平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝＝，HE＝·BH＝.

∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.

20．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

(1)证明AB⊥A1C；

(2)若AC1＝，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积S.

[解析]　(1)证明：取AB中点E，连接CE，A1B，A1E，

∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是等边三角形，

∴A1E⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，

∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥面CEA1，∴AB⊥A1C.（5分）

(2)由于△CAB为等边三角形，∴CE＝，A1E＝，在△A1CE中A1C＝.即有A1C2＝CE2＋A1E2，故A1E⊥CE，S底面积＝×AB×CE＝×2×2＝2，A1E⊥AB，A1E⊥CE，∴h＝A1E＝，V＝Sh＝2×＝6.（12分）

21．(12分)高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.

(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；

(2)求射击一次，至少命中8环的概率；

(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

22．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3，0.4，第一小组的频数为5.

(1)求第四小组的频率；

(2)参加这次测试的学生有多少人；

(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．