时间：100分钟 总分：120分

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．命题“
”的否定是（ ）

A．
B.

C.
D.

2．设
,且
,则 （　 ）

A．
B．
C．
D．

3．若数列
的通项公式是
，则
(　　)

A．15 B．12 C．－12 D．－15

4．已知椭圆过点
和点
，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上均不正确

5．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．其中的真命题有(　　)个。

A．0　　 　B．1 C．2 D．3

6．若双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 (　　)

A．5 B． C． D．2

7．已知命题
,命题
的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（ ）

A．命题“
”是真命题 B. 命题“（
”是真命题

C. 命题“
”是真命题 D. 命题“
”是假命题

8．已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，

且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 (　　)

A． B．＋1 C．＋1 D．

9．已知
，且
的最大值是最小值的3倍，则的值是（ 　 ）

A．
B．
C．
D．

10．双曲线
（
，
）的左、右焦点分别是
，过
作倾斜角为
的直线交双曲线右支于
点，若
垂直于轴，则双曲线的离心率为( )

A．
　 B．
C．
D．

11．“
”是数列“
为递增数列”的（ ）

A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．过椭圆
的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．
　　 B．
　　　　 C．
　　　　 D．

第Ⅱ卷 （60分）

二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分．把答案填在答题纸中对应横线上．

13．已知
是直线
被椭圆
所截得的线段的中点，则直线
的方程为 。

14．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，

则
的最小值为 。

三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分10分）

已知
函数
的图像与轴无交点；
方程
表示椭圆；若
为真命题，试求实数的取值范围．

16．（本小题满分10分）

已知锐角
中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，向量m=(
,1), n=(
,

),且mn.

求角C的大小；(2)若边c=2，求
面积的最大值.

17．（本小题满分10分）

已知
为等比数列，
；数列
的前n项和
满足
．

求
和
的通项公式；（2） 设
=
，求
．

18．（本小题满分10分）

已知抛物线C：y2＝4x，直线l：y＝x＋b与C交于A、B两点，O为坐标原点．

(Ⅰ)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；

(Ⅱ)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知圆
：
，点
，
，点
在圆
上运动，
的垂直平分线交
于点.

(1)求动点的轨迹
的方程；

(2)设
分别是曲线
上的两个不同点，且点
在第一象限，点
在第三象限，若
，
为坐标原点，求直线
的斜率
；

(3)过点
，
且斜率为
的动直线
交曲线
于
两点，在轴上是否存在定点，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．



选择题

二．填空题13.
14.

三．解答题

18.(1)
(2)

19．解：（1） 设
的公比为,由
,得
所以

，

（2）

①

②

20、解: (1)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，代入直线y＝x＋b

可得b＝－， ∴l：y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去y得x2－18x＋1＝0，

∴x1＋x2＝18，x1x2＝1，

(方法一)|AB|＝·|x1－x2|

＝·＝20.

(方法二)|AB|＝x1＋x2＋p＝18＋2＝20

(2)假设存在满足要求的直线l：y＝x＋b，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去x得y2－8y＋8b＝0，

∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b，

设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k1、k2，则α＋β＝135°，

综上，存在直线l：y＝x－2使得直线OA、OB的倾斜角之和为135°

21

(3)直线
方程为
，联立直线和椭圆的方程得:

得
…………8分

由题意知：点
在椭圆内部，所以直线
与椭圆必交与两点，

设
则

假设在轴上存在定点
，满足题设，则

因为以
为直径的圆恒过点,

则
，即:
(*)

…………11分

由假设得对于任意的
,
恒成立，

即
解得

因此，在轴上存在满足条件的定点，点的坐标为
.………………12分