2014-2015学年度上学期朝阳市重点高中协作校高二年级

期中考试试题（数学）

考试时间：120分钟 试题分数：150分

卷Ⅰ

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 下列方程表示的曲线中离心率为
的是（ ）

A.
B.

C.
D.

2. 下列命题中是假命题的是（ ）

A．
B．

C.
D.

3. “
”是“方程
为椭圆方程”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 抛物线
的焦点到准线
的距离是 （ ）

A．
B． C．
D．

5. 原点
和点
在直线
的两侧,则的取值范围是( )

A.
或
B.
或

C.
D.

6. 已知
，
.则
之间的大小关系是（ ）

A．
B.

C.
D.

7．若互不相等的实数
成等差数列，
成等比数列，且
，则
（ ）

A. 4 B. 2 C. -2 D. -4

8．已知抛物线
的焦点为，直线
与此抛物线相交于
两点，则
（ ）

A.
B. C. D.

9．已知命题P：“对任意
”.命题q：“存在
”.若“
”是真命题，则实数取值范围是（ ）

A.
B.
或
C.
或
D.

10．实数
满足不等式组
则目标函数
当且仅当
时取最大值，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知正项等比数列
满足：
，若存在两项
使得
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D. 不存在

12．椭圆
的左右焦点分别为
，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得
为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

卷Ⅱ

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.

13.若双曲线
的离心率为
,则其渐近线方程为_________________.

14.命题“若
则
或
”的否命题为_____________________________.

15.已知
为椭圆
的两个焦点,过
的直线交椭圆于
两点,若
,则
=__________.

16.下列命题成立的是 ． （写出所有正确命题的序号）．

①
，
；

②当
时,函数
，∴当且仅当
即
时
取最小值；

③当
时，
；

④当
时，
的最小值为
．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

已知双曲线
的方程
，求与双曲线有共同焦点且经过点
的椭圆的方程.

18．（本小题满分12分）

已知数列
满足
且
，
.

求数列
的前项和
.

19. （本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若对于任意
恒成立，求实数的取值范围.

20. （本小题满分12分）

已知一条曲线
在轴右侧，
上每一点到点
的距离减去它到轴距离的差都是1．

(1)求曲线
的方程；

(2)（文科做）已知点是曲线
上一个动点，点
是直线
上一个动点，求
的最小值.

（理科做）是否存在正数，对于过点
且与曲线
有两个交点
的任一直线，都有
·
？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知集合A=
，集合B=
.

命题P：
；命题q：
.q是p的充分条件，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆
：
，直线
与椭圆
交于
两点，直线
与椭圆
交于
两点，点坐标为
，直线
和
斜率乘积为
．

（1）求椭圆
离心率；

（2）若弦
的最小值为
，求椭圆
的方程．

高二数学试题答案

一、选择题：B B B C D A D A B C A D

二、填空题：13．
14．若
则
且

15．8 16．①③④

三、解答题：

17.解:∵双曲线的焦点为
---------------2分

∴椭圆焦点在轴上且半焦距是
--------------------4分

设椭圆方程为
-----------------------5分

将点
代入得
--------------6分

∴
或
(舍) ---------------------------8分

∴椭圆方程为
-----------------------10分

18．解: ∵
∴
时

∴
累加得
----------------4分

又
∴
经检验
也成立

∴
--------------------------------------6分

∴
---------------------------------8分

∴
----12分

19．解：（1）由
得
-------------------2分

∴
-------------------4分

（2）
对x∈[1,+）恒成立

∴
-------------------------------------6分

令
----------------------------------8分

当
时，
---------------------------10分

∴
------------------------------------------12分

(注:分类讨论解法酌情给分)

20．解：(1)设
是曲线
上任意一点，那么点
满足：

．

化简得
． -------------------------------4分

（或由定义法）

(2)(文科)设点
,则点P到直线
的距离为
当
时最小,即
最小值为
(文科两问均6分,(2)的其它解法酌情给分)

(理科)设过点
的直线
与曲线
的交点为
．

设
的方程为
，

由
得
，

，且
① -------------------------6分

又
，

∵
·
∴
②

又
，②式可化为

即

将①代入上式，得
. -----------------------8分

∵对任意实数上式成立,

∴
, 而
-----------------------10分

即

∴
.

∴存在正数，对于过点
且与曲线
有两个交点
的任一直线，都有
·
，且的取值范围
． -----------------------12分

21．解：
-----------------------------------1分

① 当
，即
时，
，而
，不满足题意，舍 ------3分

②当
，即
时，

∵
∴当
时，
，
满足题意 ---------------5分

当
时，

∵
∴
解得
-------------------------8分

③
，即
时

∵
∴
解得
------------------------—11分

综上，的取值范围为
---------------------------12分

22．解：（1）设
，由对称性得

将
代入椭圆得

------------2分

又
∴
∴
∴
---------------------5分

（2）椭圆方程可化为
联立

得
---------------------------------7分

设O为坐标原点，则
同理可得

∴

-------------------------------10分

当且仅当
即
时取等号，此时
∴

∴椭圆方程为
--------------------------------12分