命题人：高二数学组 审校人：高二数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一 .选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．双曲线
的渐近线方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．若
，则
中最大的数为（ ）

A. B.
C.
D.

3．对于常数、,“
”是“方程
的曲线是椭圆”的（　　）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要.

4．在各项均为正数的等比数列
中,

,则
的值是（ ）

A. 1 B. C.
D. 4

5．已知椭圆C：
的左右焦点为F1、F2 ，离心率为
，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为
，则C的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

6．设函数

则（　　）

A．
为
的极大值点 B．
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D．
为
的极小值点

7．已知抛物线
，是抛物线上一点，为焦点，一个定点
。则
的最小值为（ ）

A. 5 B. 6 C.
D.

8．抛物线
上一点到直线
的距离最短，则该点的坐标是 ( )

A．
B．
C．
D．

9．已知
为椭圆
的左、右焦点，是椭圆上一点，若
且
的面积为
，椭圆离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为
，直线
与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

11．设，满足约束条件
且
的最小值为7，则
（ ）

A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

12．已知a，b∈R＋，直线ax＋by＝6平分圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0的周长，则＋的最大值为(　　)

A．6　　　　B．4　　　　C．3　　　　D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二 .填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数
，则
.

14．已知
，
，
，则
的最小值是 .

15．命题：
，如果
，则
或
的否命题是 .

16．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：

①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y＝x对称；

③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；

④曲线W上的点到原点距离的最小值为

其中，所有正确结论的序号是________；

三 .解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）

17.在等差数列
中,
.(1)求数列
的通项公式;(2)设
,求
.

18.已知命题：“
” ，命题：“方程
有两个不等实根”，
为假命题，
为真命题，求实数的取值范围。

19. 已知函数
的图象在

点
处的切线方程为

（1）求实数
的值；

（2）判断函数
的单调区间，并求
在
上的最大值.

.

20．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．

(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

21.在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.?

（1）已知动点P为圆O：
外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若
，求动点P的轨迹方程；

（2）若动点Q为椭圆M：
外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若
，求出动点Q的轨迹方程；?

（3）在（2）问中若椭圆方程为
，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）.?

22.已知抛物线
：
的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，

椭圆
：
的离心率为
，且过抛物线
的焦点.?

（1）求抛物线
和椭圆
的方程；

（2）过定点
引直线
交抛物线
于、两点

（在的左侧），分别过、作抛物线
的切线
，

，且
与椭圆
相交于、
两点，记此时两切线
，

的焦点为.?

①求点的轨迹方程；

②设点
，求
的面积的最大值，并求出此时点的坐标.?

一 .选择题：

三 .解答题：

17.解：设
的公差为
,由题意得
解得

得:
…………………………………………5分

18.解： 命题为真命题时，
……………4分

命题为真命题时，
……………7分

19. 解：（1）
，
①

，

又

（2）

令

x

（－∞，－3）

－3

（－3，1）

1

（1，+∞）



f′(x)

+

0

－

0

+



f(x)



极大



极小







故h(x)的单调增区间为（－∞，－3），（1，+∞），单调减区间为（－3，1） … 10分

在
上的最大值为32 … 12分

20.证明：(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于

又∵x1＝y，x2＝y，∴·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3.

综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题。………7分

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，

那么直线过点T(3,0)． ………………8分

该命题是假命题． ………………9分

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，

直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．………………12分

21.解：（1）由切线的性质及
可知，四边形OAPB为正方形，

所以点P在以O为圆心，
长为半径的圆上，且
，

进而动点P的轨迹方程为
………………………………………………3分

（2）设两切线为
，

①当
与轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为
则
，

设
的斜率为
，则
，
的斜率为
，

的方程为
，联立
，

得
，………………5分

因为直线与椭圆相切，所以
，得

化简，

进而

所以
……………………………………………7分

所以
是方程
的一个根，

同理
是方程
的另一个根，

，得
，其中
，…………………………9分

22.