2．从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数表法确定这5名职工．现将随机数表摘录部分如下：

16 22 77 94 39　49 54 43 54 82 17 37 93 23 78　87 35 20 96 43

84 42 17 53 31　57 24 55 06 88 77 04 74 47 67　21 76 33 50 25

从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个职工的编号为（ ）

（A）23 （B）37 （C）35 （D） 17

3．已知向量
，
，且
与
互相垂直，则
的值是（ ）

（A）1　　 （B）
　　 （C）
　　　（D）

4．已知正四棱柱
中，
，为
中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5．设
，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题
，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6．已知点是以
为焦点的椭圆
上一点，若
，
，则椭圆的离心率为（ ）

（A）
　　　　 （B）
　　　　

（C）
　　　　 （D）

7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示

甲　

茎

　乙



5　7

1

6　8



8　8　2

2

3　6　7



设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，1，2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）

（A）1＝2，s1s2

（C）1>2，s1>s2 （D）1＝2，s1＝s2

8．设
表示三条不同的直线，
表示三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，则
；

②若
，是在
内的射影，
，则
；

③若是平面的一条斜线，
，为过的一条动直线，则可能有
；

④若
，则

其中真命题的个数为（ ）个

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

9．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

10．已知两点
，
，若抛物线
上存在点
使
为等边三角形，则＝（ ）

（A）5或
（B）5 （C）或
（D）4

11．设
是双曲线
的两个焦点，是上一点，若

，且
最小内角的大小为
，则双曲线的渐近线方程是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

12．在球的表面上有
三个点，若
，且
到平面
的距离为
，则此球的表面积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置

13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________．

14．如图，在直三棱柱
中，
，点是线段
上的一点，且
，
，则点
到平面
的距离为____________________

15．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，
的面积为
，则
____________．

16．如图，从双曲线
上一点
引直线
的垂线，垂足为，则线段
的中点的轨迹方程________________________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

直角坐标系
和极坐标系
的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为
，（为参数）

（1）在极坐标系下，曲线C与射线
和射线
分别交于A，B两点，求
的面积；

（2）在直角坐标系下，直线参数方程为
，（为参数），求曲线C与直线的交点坐标．

18.（本小题满分12分）

三棱锥
中，面
与面
均为正三角形，点
分别为
中点

（1）证明：四边形
为矩形；

（2）若二面角
大小为
，求直线
与面
所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数；

（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图）；

（3）由直方图估计男生身高的中位数．

20.（本小题满分12分）

如图，已知椭圆
，
分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线
交椭圆于另一点.

（1）若
，求椭圆的离心率；

（2）若
，
，求椭圆的方程．

21.（本小题满分12分）

四棱锥
中，棱长
，底面
是边长为的菱形，点
为
中点

（1）若
，证明：
；

（2）若
，
，求二面角
的余弦值．

22.（本小题满分12分）

椭圆
的左、右焦点为
，离心率为
，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直
于点，线段
的垂直平分线交
于点
.

（1）求椭圆的方程；

（2）求点
的轨迹的曲线方程；

（3）点
为曲线上异于原点的两点，
，
，求四边形
的面积最小值．



19解：(1)由直方图，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18.

这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．…………4分

(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，

设第六组人数为m，则第七组人数为0.18×50－2－m＝7－m，

又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.

频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图． …………9分

（3）设中位数为，由
频率为
，所以
，
，解得=174.5 ………12分

20解：若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝. …………5分

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．

由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，

y＝－，即B(，－)．将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1， 解得a2＝3c2.①

又由·＝(－c，－b)·(，－)＝?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②

由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆方程为＋＝1. …………12分