浦东新区2014-2015学年度第一学期期末质量测试

高二数学

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．数1与9的等差中项是 .5

2．方程组
对应的增广矩阵为 .

3．行列式
的元素-3的代数余子式的值为7，则
.3

4．若
，则实数a的取值范围是 .

5．已知等差数列
的前n项和
则
=_______ . 36

6．已知
，且
，点P在线段
的延长线上，则P点的坐标为__________.

7. 已知向量
满足
，则
的夹角为___________.

8．设无穷等比数列{
}的公比为q，若
，则q= .

9．执行右边的程序框图，若
，则输出的S
.

10. 给出下列命题：

若
，则
；

若
，则
;

若
，则
;

若两个非零向量
满足
，则
;

已知
、
、
是三个非零向量，若
，则
.

其中真命题的序号是 . ①、④、⑤

11．已知
、
是两个不平行的向量，实数
、
满足
，则
=____________.5

12. 若数列
是等差数列，首项
，则使前n项和
成立的最大自然数n是___________ .4028

得分

评卷人









二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.

13.“
”是“方程组
有唯一解”的 （ ）C

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

14．若
=
，
=
，向量
同向的单位向量坐标是 （ ）B

A.
B.

C.
D.

15．用数学归纳法证明
时，在验证
成立时，左边所得的代数式是 （ ）C

A.
B.
C.
D.

16. 由9个正数组成的矩阵
中，每行中的三个数成等差数列，且
、
、
成等比数列，下列四个判断正确的有 （ ）A

①第2列
必成等比数列 ②第1列
不一定成等比数列

③
④若9个数之和等于9，则

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17．（本题满分
分，第1小题4分，第2小题4分）

已知关于
的不等式
的解集为
．求实数
、
的值。

解： 原不等式等价于
，即
……………………4分

由题意得，
…………………6分

解得
，
． ……………………8分

18．（本题满分
分）

设｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列. 已知a1＝b1＝1，a2＋a6＝b4，

b2b6＝a4. 分别求出
和
．

解：｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，

则有a2＋a6＝2a4，b2b6＝b42．……………………2分

已知a2＋a6＝b4，b2b6＝a4，得，b4＝2a4，a4＝b42．即 b4＝2b42．

又b4≠0 所以得，b4＝
，a4＝
． ……………………4分

由a1＝1，a4＝
知｛an｝的公差为d＝
，则
；………6分

由b1＝1，b4＝
知｛bn｝的公比为
，则
………8分

19．（本题满分10分）

一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度。

（1）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里,上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？

（2）若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由。

解：（1）由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成
的等差数列，则

………………………3分

当
时，

即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米。 ………………………5分

（2）不能超过。 ………………………6分

由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成
的等比数列，则

……………………8分

飞机模型上升的最大高度是这个等比数列的各项和。

即，

所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米。 ………………………10分

20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分）

已知：
、
、
是同一平面内的三个向量，其中
=（1，2）

若|
|
，且
，求
的坐标；

若|
|=
且
与
垂直，求
与
的夹角
；

若
的夹角为锐角，求实数λ的取值范围。

解：（1）设
，由
和
可得：

∴

　或

∴
，或
…………………4分

（2）由
得，
…………………5分

即，

， 所以
…………………6分

得，
由

得，
. …………………8分

（3）

由
与
的夹角为锐角，得

…………………10分

若


得
，所以，
…………………12分

21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）

设
轴、
轴正方向的单位向量分别为
，坐标平面上的点
满足条件：
(
。

若数列
的前
项和为
，且
，求数列
的通项公式。

求向量
的坐标，若
(
的面积
构成数列
，写出数列
的通项公式。

若
，指出
为何值时，
取得最大值，并说明理由。

解：（1） 由题意
① …………………… 2分

当
时，

当
时，
②

由 ① — ②得：

又当
时，
符合题意，所以

（
） ……………………4分

（不对
的情况进行验证说明的扣1分）

（2）解：

所以，
…………………… 7分

由当
时，
的顶点坐标分别为：

得，

………9分

即
（
） ……………………10分

（其他方法求出
通项公式的参照给分）

（3）
……………………11分

当
时，

， ……………………12分

∴
时，
是递增数列，
时，
是递减数列，

， ……………………13分

∴当
或
时，
取得最大值，
……………………14分

（设最大项、解不等式等方式阐述理由的参照给分）