河北省唐山市海港高级中学2014-2015学年高二第一学期第一次月考

数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是

（2）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（A）50 （B）40（C）25 （D）20

（3）下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

（4）对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是（A）如果m(α，n(α，m、n是异面直线，那么n∥α（B）如果m(α，n(α，m、n是异面直线，那么n与α相交（C）如果m(α，n∥α，m、n共面，那么m∥n（D）如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

（5）已知一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（A）2＋ （B）（C） （D）1＋

（6）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）1 （B）3（C）7 （D）15

（7）3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（A） （B）（C） （D）

（8）高为2的直三棱柱的俯视图是一个边长为2的正三角形，如图所示，则这个直三棱柱的正视图的面积是（A）4 （B）2（C）3 （D）2

（9）如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（A）30( （B）45(（C）60( （D）90(

（10）设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为（A）8 （B）7（C）2 （D）1

（11）已知直线l(平面(，直线m(平面(，有下列命题：①(∥((l(m；②((((l∥m；③l∥m((((；④l(m((((；其中正确的命题是（A）①与② （B）③与④（C）②与④ （D）①与③

（12）如图，在棱长为1的正方体A1B1C1D1－ABCD中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是

（A）[1，] （B）[，]

（C）[，] （D）[，]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）如右图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等

腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几

何体的表面积为_____________．

（14）已知某几何体的三视图如右下图所示，则该几何体的体积为

___________．

（15）在三棱锥V－ABC中，VB＝6，AC＝3，P为△VAC的重

心，过点P作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线VB

和AC，则截面的周长为_________．

（16）已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为_________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别为A1D与D1C的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）证明：DD1(EF．

（18）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和．

（19）（本小题满分12分）

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．

（Ⅰ）求证：平面PDE(平面PEF；

（Ⅱ）求P到平面DEF的距离．

（20）（本小题满分12分）

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为角a，b，c．已知a＝3，cosA＝，B＝A＋．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

（21）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，(ACB＝90(，CA＝CB＝CC1，M，P，N分别为A1C1，A1C，BC的中点．

（Ⅰ）证明平面MNP∥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求A1C与平面ABB1A1所成的角．

（22）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD(平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F为PC的三等分点．

（Ⅰ）证明：AC(PB；

（Ⅱ）若PD＝，AD＝2，(BAD＝60(，求二面角P－BC－A的大小；

（Ⅲ）在直线PB上是否存在一点G，使平面BDE∥平面AFG？说明理由．

高二数学10月月考参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1－5）CCACA （6－10）CDBDB （11－12）DB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13） （14）3( （15）8 （16）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）证明：（Ⅰ）连接AD1，AC，∵E是A1D的中点，∴E也是AD1的中点，

又F是D1C的中点，∴EF是△ACD1的中位线，

∴EF∥AC， ……3分

又EF(平面ABCD，AC(平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．……5分

（Ⅱ）∵DD1(平面ABCD，AC(平面ABCD，∴DD1(AC，……8分

又EF∥AC，∴DD1(EF． ……10分

（18）解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d．

由已知可得解得a1＝1，d＝1． ……4分

故{an}的通项公式为an＝n． ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝＝(－)， ……9分

从而数列{}的前n项和为

(1－＋－＋…＋－)＝． ……12分

（19）（Ⅰ）证明：由已知四边形ABCD是正方形，

∴(A＝(B＝(C＝90(，

又折叠后A，B，C三点重合于点P，

∴PD(PE，PD(PF，PE(PF，

又PE∩PF＝P，∴PD(平面PEF， ……4分

又PD(平面PDE，∴平面PDE(平面PEF． ……6分

（Ⅱ）解：PD＝2，PE＝PF＝1，EF＝，DE＝DF＝，

S△DEF＝((＝，设P到平面DEF的距离为d，

由VP－DEF＝VD－PEF，得( S△DEF(d＝( S△PEF(PD， ……9分

∴((d＝((1(1(2，∴d＝，

∴P到平面DEF的距离为． ……12分

（20）解：（Ⅰ）由题意可知sinA＝＝． ……2分

又因为B＝A＋，所以sinB＝sin(A＋)＝cosA＝． ……4分

由正弦定理可知b＝＝3． ……6分

（Ⅱ）由B＝A＋，得cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－． ……8分

由A＋B＋C＝(，得C＝(－(A＋B)，

所以sinC＝sin[(－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝． ……10分

S△ABC＝absinC＝(3(3(＝． ……12分

（21）（Ⅰ）证明：∵M，P分别是A1C1， A1C的中点，∴MP∥CC1，

又CC1∥AA1，∴MP∥AA1，又MP(平面ABB1A1，AA1(平面ABB1A1，

∴MP∥平面ABB1A1， ……4分

同理PN∥平面ABB1A1，MP∩PN＝P，∴平面MNP∥平面ABB1A1；……6分

（Ⅱ）解：取AB中点D，连接CD，A1D，

∵AA1⊥平面ABC，CD(平面ABC，∴AA1⊥CD，

又∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，

∴CD⊥平面ABB1A1，

∴(CA1D为A1C与平面ABB1A1所成的角． ……10分

在Rt△CA1D中，(CDA1＝90(，设CA＝1，可得CD＝，A1C＝，

sin(CA1D＝＝，∴(CA1D＝30(，即A1C与平面ABB1A1所成的角为30(．……12分

（22）（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC(平面ABCD，∴PD⊥AC，

又四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PBD，又PB(平面PBD，∴AC⊥PB．……4分

（Ⅱ）解：取BC中点H，连接HD，HC，

由四边形ABCD为菱形，且(BAD＝60(，

得△BCD为等边三角形，∴HD⊥BC，PH⊥BC，

∴(PHD为二面角P－BC－A的平面角， ……6分

在Rt△PDH中，(PDH＝90(，PD＝DH＝，

∴(PHD＝45(，即二面角P－BC－A的大小为45(．……8分

（Ⅲ）解：当G为PB中点时，平面BDE∥平面AFG．下证：

当G为PB中点时，连接FG，AG，设AC∩BD＝O，连接OE，

∵F，G分别是PE，PB的中点，∴FG∥EB，且FG(平面BDE，EB(平面BDE，

∴FG∥平面BDE，同理，AF∥平面BDE，又AF∩FG＝F，∴平面BDE∥平面AFG，

∴当G为PB中点时，平面BDE∥平面AFG． ……12分