白鹭洲中学2014-2015学年高二上学期第三次月考

数学文试题

考生注意：

1．试卷所有答案都必须写在答题卷上。

2．答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

3．考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

一、选择题：（本大题共有12 题，每题5分，共60分）

1．不等式组
所表示的平面区域是（　　）

A．
B．
C．
D．

2．抛物线x2+y=0的焦点位于（　　）

A．y轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上

C．x轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上

3．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（　　）

A．
B．
C．
D．

4．下列结论正确的是（　　）

A．若y=x+
，则y′=1+
B．若y=cosx，则y′=sinx

C．若y=
，则y′=
D．若y=
，则y′=

5．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（　　）

A．充分条件 B．必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

6．垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（　　）

A．x+y-
=0 B．x+y+1=0 C．x+y-1=0 D．x+y+
=0

7. 一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是（　　）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

8．曲线y=
x3+x在点(1，
)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

9．给出下列四个命题：①直线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件；

其中真命题有几个（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐标是（　　）

A．（1,2） B．（0,0） C．(
,1) D．（1,4）

11．半径为4的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（　　）

A．
B．
C．2 D．4

12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，并且函数y=
的定义域为R，则
的最小值为（　　）

A．
B．
C．3 D．2

二、填空题：（本大题共有4 题，每题5分，共20分）

13．在空间直角坐标系中O-xyz，点（1，-2，3）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为

14．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx-x），则f′（1）=

15. 两圆相交于两点（1，3）和（m，1），两圆的圆心都在直线x-y+
=0上，则m+c=

16．过双曲线
-
=1（a，b＞0）上任一点分别作两条渐近线的平行线，则这两条直线与渐近线所围成的平行四边形的面积为 (用a、b表示)

三、解答题 （本大题共有6 题，共70 分）

17．一质点运动的方程为s=8-3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）用定义法求质点在t=1时的瞬时速度．

18．已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线x+2y-4=0上，直线l的方程为（k-1）x+2y+5-3k=0．（1）求圆C的方程；（2）证明：直线l与圆C恒相交；（3）求直线l被圆C截得的最短弦长．

19． 某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，求所需租赁费最少为多少元？

20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．

21．已知命题p：方程a2x2+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解．命题q：对于任意实数x都不满足不等式x2+2ax+2a<0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

22．已知椭圆的两个焦点F1(-
，0)，F2?(
，0)，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使
?
恒为定值，求m的值．

DACCBA BACCBD 13．（-1，-2，3） 14． 2 15. 3 16．

17．解：（1）∵s=8-3t2，∴△s=8-3（1+△t）2-（8-3×12）=-6△t-3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：
=
=-6-3△t．（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度为v=
=
(-6-3△t)=-6．

∴当t=1时，v=-6×1=-6．

18. 解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．?…（1分）由条件，得
，解得
∴圆C的方程为x2+y2-4x-2y-20=0．?…（4分）（2）由（k-1）x+2y+5-3k=0，得k（x-3）-（x-2y-5）=0，令
，得
，即直线l过定点M（3，-1），…（6分）由32+（-1）2-4×3-2×（-1）-20＜0，知点M（3，-1）在圆内，∴直线l与圆C恒相交．?????????…（8分）（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短．直线l被圆C截得的最短弦长为2
=4
．…（12分）

19．解：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z=200x+300y，（2分）甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况为下表所示：

产品设备

A类产品（件）（≥50）

B类产品（件）（≥140）

租赁费（元）



甲设备

5

10

200



乙设备

6

20

300



（4分）则满足的关系为
即：
，（6分）作出不等式表示的平面区域，当z=200x+300y对应的直线过两直线
的交点（4，5）时，目标函数z=200x+300y取得最低为2300元．（12分）

20．证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．∵E，G分别是AA1，BB1的中点，∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．∴D是AG的中点（3分）又∵F是AC的中点，∴DF∥CG（4分）则由DF?面BEF，CG
面BEF，得CG∥面BEF（6分）（注：利用面面平行证明的，类似给分）（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-AB1C1中，C1C⊥地面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1． 又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB（8分）而CG?面B1C1CB，∴A1C1⊥CG（9分）又CG⊥C1G，由（Ⅰ）DF∥CG，∴A1C1⊥DF，DF⊥C1G∴DF⊥平面A1C1G（11分）∵DF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1G．（12分）

21．解：对于p，由a2x2+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，显然a≠0，∴x=-
或x=
，∵方程a2x2+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解，故
或
∴-2＜a≤-1或1≤a＜2．

对于q，对于任意实数x都不满足等式x2+2ax+2a<0，∴△=4a2-8a≤0，解得0≤a≤2．∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，

∴a的取值范围为{a|a≤-2或-1

22．解：（I）由题意可得 c=
，tan30°=
=
，∴b=1，∴a=2，故椭圆的方程为
+
=1．（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，∴x1+x2=
，x1?x2=
．∵
?
=（m-x1，-y1?）?（m-x2，-y2）=（m-x1）（m-x2）+y1y2? =（m2+k2）+（1+k2）x1?x2-（m+k2）（x1+x2） =（m2+k2）+（1+k2）
-（m+k2）（
） =
??恒为定值，∴
=?4， ∴m=
．