白鹭洲中学2014-2015学年高二上学期第三次月考

数学理试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）

1．若
,则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设平面
与平面
相交于直线
,直线
在平面
内,直线
在平面
内,且
,则“
”是“
”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分不必要条件

3．若点A(x2+4，4－y，1＋2z)关于y轴的对称点是B(－4x，9，7－z)，则x，y，z的值依次为（ ）

A．1，－4，9 B．2，－5，－8 C．2，5，8 D．－2，－5，8

4．
,若
,则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是
，则这个三棱柱的体积是( )

A．
B．
C．24
D．48

6．已知
,
为两个不相等的非零实数，则方程
与
所表示

的曲线可能是（ ）

A B C D

7．已知点M是抛物线
上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

8．正三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a，AB的中点M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C点，最短路程是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

10．已知抛物线

有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥
轴，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知抛物线
的方程为
，过点

和点
的直线与抛物线
没有公共点, 则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

12．已知圆锥曲线
的离心率
为方程
的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.

将答案填在答题卡上的相应位置）

13．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .

14．曲线
在点
处的切线的斜率是_________，切线的方程为____________.

15．已知
、
是双曲线

的两个焦点， 以线段

为边作正△
，若边
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率
= .

16．以下四个命题中：

①命题“
”的否定是“
”；

②与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线；

③“
是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件；

④曲线
与曲线
有相同的焦点；

⑤设A，B为两个定点，若动点P满足
，且
，则
的最大值为8；其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）

三、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）

17．（本题满分10分）命题p：关于
的不等式
的解集为
；

命题q：函数
为增函数． 分别求出符合下列条件的实数
的取值范围．

（1）p、q至少有一个是真命题；（2）p或q是真命题且p且q是假命题．

18．（本题满分12分）已知点
及圆
：
.

（1）若直线
过
且被圆
截得的线段长为4
，求
的方程；

（2）求过
点的圆
的弦的中点的轨迹方程.

19．（本题满分12分）如图,在长方体
中
,
为
中点.

(1)求证
；

(2)在棱
上是否存在一点
,使得
平面
若存在,求
的长;若不存在,说明理由；

(3)若二面角
的大小为
,求
的长.

20．（本题满分12分）设点
为平面直角坐标系
中的一个动点（其中
为坐标原点），点
到定点
的距离比点
到
轴的距离大
.

(1) 求点
的轨迹方程；

（2）若直线
与点
的轨迹相交于
、
两点，且
，求
的值；

（3）设点
的轨迹是曲线
，点
是曲线
上的一点，求以
为切点的曲线
的切线方程.

21.（本题满分12分）直线

与双曲线

的右支交于不同的两点
、
.

（1）求实数
的取值范围；

（2）是否存在实数
,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线
的右焦点
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

22．（本题满分12分）椭圆C：
的两个焦点分别为
,

是椭圆上一点，且满足
.

（1）求离心率
的取值范围；

（2）当离心率
取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为
.

(i)求此时椭圆C的方程；

(ii)设斜率为
的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，
）、Q的直线对称？若能，求出
的取值范围；若不能，请说明理由.

白鹭洲中学2014年高二年级12月月考

数学答案（理）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

B

D

D

C

B

A

A

B

D

C





13、 24 14、
15、
16、①②⑤

17、

故p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的取值范围为

18、解 如图所示，AB=4
，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2
，

圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，

圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4，

在Rt△ACD中，可得CD=2.

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.

由点C到直线AB的距离公式：
=2，得k=
.

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.

则y2-12y+24=0,∴y1=6+2
,y2=6-2
,∴y2-y1=4
,故x=0满足题意.

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,

则CD⊥PD，即
·
=0，

（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

19、解(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设
,

,故

(2)假设在棱上存在一点
,使得
平面
,则

设平面
的法向量为
,则有
,取
,可得
,要使
平面
,只要

,又
平面
,
存在点
使
平面
,此时
.

(3)连接
,由长方体
,得

,
,由(1)知
,故
平面
.

是平面
的法向量,而
,则

二面角是
,所以,即

20、解：（1）过P作
轴的垂线且垂足为N，由题意可知
, 而
，
，
.化简得
为所求的方程。

（2）设
，联立
得
,

而
，

（3）因为
是曲线C上一点，

切点为
，由
求导得

当
时

则直线方程为
即
是所求切线方程.

21、解 （1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，

整理得(k2-2)x2+2kx+2=0 ①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，

故

解得k的取值范围为-2＜k＜-
.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则由①式得
②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得

（x1-c）(x2-c)+y1y2=0.

即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.

整理得：

(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0 ③

把②式及c=
代入③式化简得

5k2+2
k-6=0.

解得k=-
或k=

(-2,-
)（舍去）.

可知k=-
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

22、解：(1)、由几何性质知的取值范围为：
≤e＜1

(2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为
。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，则当y = - b时，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，

所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去)

若b≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16

∴所求椭圆方程为

(ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x0+2ky0=0；

又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为
，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得
……②　

由①②解得Q(
,
)，而点Q必在椭圆的内部 ∴
，

由此得k2 <
，又k≠0 ∴ -
< k < 0或0 < k <

故当( -
, 0 ) ∪( 0 ,
)时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。