盐城中学2014-2015学年高二12月阶段性检测

数学（理）试题

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）

1.已知
，则
的虚部是 .

2.已知
，则
的最小值是

3.已知
，则

4.已知双曲线

的焦距是10，点P（3,4）在
的渐近线上，则双曲线
的标准方程是

5.在直角坐标系中，不等式组
表示平面区域面积是4，则常数
的值_______．

6.函数
的图象在点
处的切线方程是 .

7.已知
,
，则
的最大值是

8.数列
的前
项和为

，且

，利用归纳推理，猜想
的通项公式为

9.已知
在
上是增函数，则
的取值范围是 .

10.设等差数列
的前
项和为
，则
，
，
成等差数列；

类比以上结论有：设等比数列
的前
项积为
，则
， ，
成等比数列．

11.函数
在
上有极值，则
的取值范围是

12.已知椭圆
和圆
,若
上存在点
,使得过点
引圆
的两条切线,切点分别为
,满足
,则椭圆
的离心率取值范围是

13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点
在
轴上，
为左右顶点，焦距为
2，左准线
与
轴的交点为
，
∶
= 6∶1．若点
在直线
上运动，且离心率
，则
的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.）

15. （本题满分14分）已知
在区间[0,1]上是减函数,在区间
上是增函数,又

(Ⅰ)求
的解析式;

(Ⅱ)若
在区间

恒成立,求
的取值范围.

16. （本题满分14分）在平面直角坐标系
中，已知点A(0，1)，B点在直线
上，
点满足
，
，
点的轨迹为曲线
.

(1)求曲线
的方程；

(2)斜率为1的直线
过原点
，求
被曲线C截得的弦长.

17. (本题满分14分) 设数列
的前
项和为
，且方程
有一根为
.

(1)求
;

(2)猜想数列
的通项公式，并给出证明．

18. （本题满分16分）在淘宝网上，某店铺专卖盐城某种特产．由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量
（单位：千克）与销售价格
（单位：元/千克，
）满足：当
时，
，
；当
时，
．已知当销售价格为
元/千克时，每日可售出该特产600千克；当销售价格为
元/千克时，每日可售出150千克．

（1）求
的值，并确定
关于
的函数解析式；

（2）若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格
的值，使店铺每日销售该特产所获利润
最大（
精确到0.1元/千克）．

19. （本题满分16分）如图，已知椭圆

的离心率为
，以椭圆
的上顶点
为圆心作圆
，设圆
与椭圆
交于点
与点
。

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
的任意一点，

且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值。

20. （本题满分16分）设函数
（其中
是非零常数，
是自然对数的底），记
（
，
）

（1）求使满足对任意实数
，都有
的最小整数
的值（
，
）；

（2）设函数
，若对
，
，
都存在极值点
，求证：点
（
，
）在一定直线上，并求出该直线方程；

（注：若函数
在
处取得极值，则称
为函数
的极值点.）

（3）是否存在正整数
和实数
，使
且对于
，
至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的
和
，若不存在，说明理由．

高二数学12月随堂测试答案

16. 【解】　(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－1)且A(0， 1)，

∴＝(－x， 1－y)，＝(0，－1－y)，＝(x，－2)，

由·＝·，得(＋)·＝0，

∴(－x，－2y)·(x，－2)＝0，

所以曲线C的方程为y＝x2

(2)

17.【解】　(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，

∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得
=a1＝，

当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1，

又S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，

∴(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.

18. 解：（1）由题意：x=2时y=600，∴a+b=600,

又∵x=3时y=150，∴b=300

∴y关于x的函数解析式为：

（2）由题意：
，

当
，
，

∴
时有最大值
。

当
时，

∴
时有最大值630

∵630<

∴当
时
有最大值

即当销售价格为1．7元的值，使店铺所获利润最大。

（3）
无解，

①当
时，

而当
时，
单调减，且

在
上增，
上减，
恒成立.

单调减，而

在
上
在
上增，
上减，
，又

在
上单调递减

综上所述，
存在
，
满足条件.