汇文中学2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学试卷

第一卷

一、填空题：（本大题共8小题，每题5分，共40分。请将答案填在答卷上）

1．抛物线
的焦点坐标为 ▲ ．

2．“
”是“
”的 ▲ 条件．

（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）

3．在平面直角坐标系中，若点
在直线
的上方（不含边界），

则实数a的取值范围是 ▲ ．

4．已知函数
，则
在区间
上的平均变化率为 ▲ ．

5．双曲线
的渐近线方程为 ▲ ．

6．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋y的最大值为 ▲ ．

7．一物体做加速直线运动，假设
s时的速度为
，则
时物体的加速度

为 ▲ ．

8．不等式
在区间
上恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共4道题，满分60分。答题应有必要的步骤和推理过程）

9．（本题满分14分）

已知：
，不等式
恒成立，：椭圆
的焦点在x轴上．若命题
为真命题，求实数m的取值范围．

10．（本题满分14分）

已知函数
．

（1）若曲线
的一条切线的斜率是2，求切点坐标；

（2）求
在点
处的切线方程．

11．（本题满分16分）

已知一个圆经过直线l：
与圆C：
的两个

交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．

12．（本题满分16分）

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的

右准线，F到直线l的距离等于3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰

三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第二卷

一、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。请将答案填在答卷上）

13．直线l：y＝x－1被圆(x－3)2＋y2＝4截得的弦长为 ▲ ．

14．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆
恒有公共点，则t的取值范

围是 ▲ ．

15．在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积

等于2，则实数a的值为 ▲ ．

16．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方

部分相交于点A，则AF= ▲ ．

17．对任意实数λ，直线l1：x＋λy－m－λn＝0与圆C：x2＋y2＝r2总相交于两不同点，则

直线l2：mx＋ny＝r2与圆C的位置关系是 ▲ ．

18．双曲线
的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点

为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则

该双曲线的离心率e＝ ▲ ．

二、解答题：（本大题共2道题，满分30分。答题应有必要的步骤和推理过程）

19．（本题满分14分）

已知圆M的圆心在直线
上，且过点
、
．

（1）求圆M的方程；

（2）设P为圆M上任一点，过点P向圆O：
引切线，切点为Q．试探究：

平面内是否存在一定点R，使得
为定值？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说

明理由．

20．（本题满分16分）

已知椭圆G：
过点
，
，C、D在该椭圆上，直线CD过原点O，且在线段AB的右下侧．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求四边形ABCD 的面积的最大值．

汇文中学2014-2015学年度第一学期期中考试

高二数学试卷答案

第一卷

一、填空题：1．（1，0）；2．充分不必要；3．
；4．2；5．
；6．5；7．4；8．
．

二、解答题：

9．（本题满分14分）解：：
；：
，由
为真知，
皆为真，解得
．

10．（本题满分14分）解：（1）切点坐标为
；（2）切线方程为

11．（本题满分16分）解法一：由
解得
或
，

过该两点的圆的面积最小，可求得其方程为

解法二：所求圆的圆心为
的交点，可求得
，

可求得其方程为

解法三：圆系方程可求得其方程为

12．（本题满分16分）

解：（1）设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由已知，得∴∴b＝．所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1．

（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．

①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，

∴PF不可能与PM相等．

②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，

∴9＋y2＝16－8x＋x2，又由＋＝1，得y2＝3－x2．∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，

∴x2－8x＋4＝0．∴7x2－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．

∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．

第二卷

一、填空题：13．2；14．[1，5)；15．3；16．4；17．相离；18．
．

二、解答题：

19．（本题满分14分）解：（1）圆M：
；

（2）设
，
，则
，即
，

又
，
，

故
，
，

又设
为定值，故

，

可得
，解得
或
，

综上，存在点
或
满足题意．

20．（本题满分16分）解：（1）将点A（0，5），B（-8，-3）代入椭圆G 的方程解得

（2）连结OB，

则
，

其中
,
分别表示点A，点B 到直线CD 的距离．

设直线CD方程为y = kx，代入椭圆方程
得
，

解得：
，
，

又
，

则

．