（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)

1．命题：“对任意的x∈R，
”的否定是 （ ）

A、不存在x∈R，
B、存在x∈R，x2-2x-3≤0

C、存在x∈R，x2-2x-3＞0 D、对任意的x∈R，x2-2x-3＞0

2．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员参加的每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ）

A．65 B．64 C．63 D．62

3．工人月工资（元）依生产率（千元）变化的回归方程为

，下列判断正确的是 （ ）

A．劳动生产率为1000元时，工资为130元

B．劳动生产率提高1000元，则工资提高80元

C．劳动生产率提高1000元，则工资提高130元

D．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元

4．下列各数中，最小的数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充

的语句为 ( )

A．
B．
C．
D．

6．某中学领导采用系统抽样方法，从该校七年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k
=16，即每16人抽取一个人。在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33 ~ 48这16个数中应取的数是 （ ）

A．40． B．39． C．38． D．37．

7．已知命题：实数满足
，命题：函数
是增函数。若
为真命题，
为假命题，则实数的取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D.

8．从写上0,1,2,…,9 十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片数字各不相同的概率是 ( )

A.
B.
C.
D. 1

9．若焦点在轴上的椭圆
的离心率为
，则= （ ）

A．
B．
C．
D.

10. 在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于
的概率是 （ ）

A．
B．
C．
D.

11. 若直线
与曲线
恰有一个公共点，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
或

C．
D.
或

12. 已知椭圆
的焦点为
，
，在长轴
上任取一点
，过
作垂直于
的直线交椭圆于点，则使得
的点
的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．读下面的程序框图，若输入的值为
，则输出的结果是 .

14. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则
的值为______________.

15. ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；

②在
中，“
”是“
三个角成等差数列”的充要条件.

③
是
的充要条件； ④“
”是“
”的充分必要条件.

⑤
中，“
”是“
”的充要条件.以上说法中，判断错误的有_____.

16．已知两个正数，
的等差中项为
，等比中项为
，且
，则椭圆
的离心率为 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17. 已知命题
,
,

（1）求
；

（2）若
是
的必要不充分条件，求实数的取值范围。

18．假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（元）有以下统计资料：

使用年限x

2

3

4

5

6



维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



（已知回归直线方程是：
,其中
）

由资料知y对x呈线性相关关系。试求：

（1）求
及线性回归方程

；

（2）估计使用10年时，维修费用是多少？

19. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：?

（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计本次考试的平均分；?

（3）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率。

20．已知一个椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，短轴的一个顶点与两个焦点
组成的三角形的周长为
，且
.

（1）求这个椭圆的方程；

（2）斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求
的最大值.

21．已知关于的一元二次函数
。

（1）设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2， 3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求方程
有两相等实根的概率；

（2）设点（a，b）是区域
内随机的一点，求函数
在区间
上是增函数的概率。

22．设椭圆C：
的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且
．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

2014-2015学年第一学期高二年级期中考试

数学（理科）试卷答案

一. 选择题(
) ：

三．解答题(共70分)：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程;

17. （本题满分12分）

（2）当x=10时，
=1.23×10+0.08=12.38(万元)，

即估计使用10年时维修费是12.38万 ………10分

19. （本题满分12分）

解：（1）分数在[70，80）内的频率为1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，

故
，如图所示。 ………4分

（2）平均分为
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71； ………8分

（3）由题意[60，70）分数段人数为0.15×60=9人；[70，80）分数段人数为0.3×60=18人；

∵在[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；

[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；

设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A，

则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m， b），（m，c），（m，d），…，（c，d），共15种，则事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），共9种，

∴
。 ………………12分

21．（本题满分12分）

解：（1）∵方程
有两等根，则
即

若
则
或1.

∴事件包含基本事件的个数是2个，可得所求事件的概率为
. ………………6分

（2）函数
的图象的对称轴为
，当且仅当2b≤a且a＞0时，

函数
在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果
所构成的区域满足
. 构成所求事件的区域为三角形部分．

由
得交点坐标为







∴所求事件的概率为
. ………………12分

（3）由（Ⅱ）知F2（1，0）l：y=k（x﹣1）

代入得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则
，y1+y2=k（x1+x2﹣2），（8分）

=（x1+x2﹣2m，y1+y2）

由于菱形对角线垂直，则

故k（y1+y2）+x1+x2﹣2m=0

则k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0k2

……………10分

由已知条件知k≠0且k∈R∴
∴

故存在满足题意的点P且m的取值范围是
． ………………12分