珠海市实验中学2014-2015学年第一学期中考试高二理科数学试题

说明：（1）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

（2）所有答案一律写在答题卷上，写在试卷上无效

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）

1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）

（A）an=n2-(n-1) （B）an=n2-1 （C）an=
（D）an=

2. 数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则
（ ）

A．0 B．
C．2 D．-1

3．已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么它的公比为 ( )

A．
B．
C．
D．

4. 如果等差数列
中，
+
+
=12，那么
+
+
?…+
=（ ）

（A）35 (B) 28 (C) 21 (D) 14

5．△ABC 中，
，则△ABC一定是( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

6.在△ABC中，∠A=60°,a=
,b=4,满足条件的△ABC ( )

(A)不存在 (B)有一个 (C)有两个 (D)有无数多个

7.下列不等式的解集是空集的是( )

A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x>2

8．若
，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )

①
②
③
④

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷中相应位置）

9.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-
},则a+b=________.

10．
，则
的最小值是 ．

11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖 块.

12．
与
的等比中项为

13．不等式组
表示的平面区域的面积为________．

14. 已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围

三、解答题（本大题共6小题，共80分.请将详细解答过程写在答卷上）

15. （本小题满分12分）已知函数

（1）若b=2，求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集为R，求实数b的取值范围。

16．（本小题满分13分）在四边形
中,
,

且
,求
的长.

17．（本小题满分13分）

（1）设数列
满足：
，
，
．

求
的通项公式及前项和
；

（2）已知数列
的前项和为
，且
，

求
的最大值和通项
．

18．（本小题满分14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2asinB=b .

（1）求角A的大小；

（2) 若a=6，b+c=8，求△ABC的面积.

19．（本小题满分14分）设数列
满足
且对一切
，

有
．

(1) 求
的值；

（2）证明：数列
为等差数列；

(3) 求数列
的通项公式；

(4) 设
，求证：
．

20．（本小题满分14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

高二理科数学答案

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（C）

（A）an=n2-(n-1) （B）an=n2-1 （C）an=
（D）an=

2. 数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则
（ B ）

A．0 B．
C．2 D．-1

3．已知等差数列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么它的公比为 (C )

A．
B．
C．
D．

4. 如果等差数列
中，
+
+
=12，那么
+
+
?…+
=（ B ）

（A）35 (B) 28 (C) 21 (D) 14

5．△ABC 中，
，则△ABC一定是( A )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

6.在△ABC中，∠A=60°,a=
,b=4,满足条件的△ABC ( A )

(A)不存在 (B)有一个 (C)有两个 (D)有无数多个

7.下列不等式的解集是空集的是( C )

A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 D.x2+x>2

8．若
，则下列不等式中，正确的不等式有 ( B )

①
②
③
④

A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分．)

9.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-
},则a+b=________.-14

10．
，则
的最小值是 ．9

11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖 4n+2 块.

12．
与
的等比中项为 ±2

13．不等式组
表示的平面区域的面积为________．2

14. 已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围 (2,6)

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15. （本小题满分12分）已知函数

（1）若b=2，求不等式
的解集；

（2）若不等式
的解集为R，求实数b的取值范围。

解：（1）b=2时，
化成
。。。。。。。。1分

令
得
。。。。。。。。。3分

不等式的解集为：
。。。。。。。5分

（2）
的解集为R，则
。。。。。。。。。。7分

。。。。。。。。。。。9分

-4

实数b的范围是(-4,0) ………………..12分

16．（本小题满分13分）在四边形
中,
,

且
,求
的长.

16.解：连结
，由题意得

…………………4分

在
中,

………………………………………..7分

…………………………………10分

在
中,

……………………13分

17．（本小题满分13分）

（1）设数列
满足：
，
，
．

求
的通项公式及前项和
；

（2）已知数列
的前项和为
，且
，

求
的最大值和通项
．

17．评分（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分。

解：（1）由
得

是首项为1，公比为3的等比数列。。。。。。。。。2分

4分

6分

（2）
8分

当n=2时，
取得最大值4。。。。。。。。。9分

。。。。。。。。。。。。。。9分

当n≥2时，
12分

也适合上式，所以
13分

18．（本小题满分14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b .

（1）求角A的大小；

（2) 若a=6，b+c=8，求△ABC的面积.

18．解：（1）由已知得到：
，且
，且
；

（2）由（1）知
，由已知得到：

，

所以
；

19．（本小题满分14分）设数列
满足
且对一切
，有
．

(1) 求
的值； （2）证明：数列
为等差数列；

(3) 数列
的通项公式；

(4) 设
，求证：
．

解析：(1)
……………………………………2分

(2)由
可得：

∴数列
为等差数列，且首项
，公差为…………6分

（3）∴
……8分

∴
…………………………………10分

(3)由(2)可知：

…………12分

∴

…14分

20．（本小题满分14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

20．解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元

n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，

共
。。。。。。。2分

因此利润
，。。。。。。。4分

令

解得：
。。。。。。。。。。。6分

所以从第4年开始获取纯利润．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（Ⅱ）年平均利润
。。。。。。。。。。9分

（当且仅当
，即n=9时取等号）

所以9年后共获利润：12
=154（万元）。。。。。。。。。。11分

利润

所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元）。。。。。。。。。。13分

两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．。。。。。。14分