宜兴市东山高级中学 高二数学

导数与命题综合 编者：李江锋

班级_____姓名________

一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分）

1、 已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么
是
的 条件.

2、命题“

，
”的否定是 .

3、“a+b=3”是“a=1且b=2”成立的 条件.

4、曲线
在
处的切线斜率为

5、．函数
的单调增区间为 .

6、已知“
”是“
”的必要不充分条件，

则实数
的取值范围是 .

7、函数
的单调递增区间是 ．

8、给出以下命题：

①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件；

②“全等三角形是相似三角形”的逆命题为真；

③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假；

④在
中，
是
三个角成等差数列的充要条件；

其中正确的命题是 .（要求写出所有正确命题的序号）

9、函数
的定义域为开区间
，

导函数
在
内的图象如右图所示，

则函数
在开区间
内有极小值点有 个； ks5u

10、在函数
的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，

坐标为整数的点的个数为

11、一个物体的运动方程为
其中
的单位是米，
的单位是秒，

那么物体在
秒末的瞬时速度是

12、若存在实数
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围为 ．

13、设
在
内单调递增，

，则
是
的　　　　　条件

14、给出下列命题：①若
，则函数
在
处有极值；

②
是方程
表示椭圆的充要条件；

③若
，则
的单调递减区间为
；

④
是椭圆
内一定点，
是椭圆的右焦点，

则椭圆上存在点
，使得
的最小值为3．

其中为真命题的序号是　　　　 　　．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分）

15、已知P：对任意
恒成立；

Q：
有两个不等的实根。求使“P且
Q”为真命题的m的取值范围。

16、设a为实数,函数
(Ⅰ)求
的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
轴仅有一个交点.

17、 经试验证实，某型号的汽车每小时的耗油量
（升）与速度
（千米/小时）的关系式为
.已知甲乙两地相距180千米，限速120千米/小时.

（1）若车速为45千米/小时，求汽车从甲地到乙地的耗油量；

（2）当车速为
（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为
（升），

求函数
的解析式；

（3）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少.

18、已知函数

.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2) 当a >0时，求函数
在
上最小值.

19、某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x>6），年销量为u万件，

若已知
与
成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.

20、设
，函数
.

当
时,求曲线
在
处的切线方程;

当
时,求函数
的最小值.

高二数学导数与命题综合

一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分）

1、 已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么
是
的 条件.

2、命题“

，
”的否定是 .

3、“a+b=3”是“a=1且b=2”成立的 条件.

4、曲线
在
处的切线斜率为

5、．函数
的单调增区间为 .

6、已知“
”是“
”的必要不充分条件，

则实数
的取值范围是 .

7、函数
的单调递增区间是 ．

8、给出以下命题：

①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件；

②“全等三角形是相似三角形”的逆命题为真；

③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假；

④在
中，
是
三个角成等差数列的充要条件；

其中正确的命题是 .（要求写出所有正确命题的序号）

9、函数
的定义域为开区间
，

导函数
在
内的图象如右图所示，

则函数
在开区间
内有极小值点有 个； ks5u

10、在函数
的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，

坐标为整数的点的个数为

11、一个物体的运动方程为
其中
的单位是米，
的单位是秒，

那么物体在
秒末的瞬时速度是

12、若存在实数
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围为 ．

13、设
在
内单调递增，

，则
是
的　　　　　条件

14、给出下列命题：①若
，则函数
在
处有极值；

②
是方程
表示椭圆的充要条件；

③若
，则
的单调递减区间为
；

④
是椭圆
内一定点，
是椭圆的右焦点，

则椭圆上存在点
，使得
的最小值为3．

其中为真命题的序号是　　　　 　　．

1、必要条件 2、
3、必要不充分 4、0

5
； 6.
7、
8、①③④ 9、1 10、0

11、5m/s 12、
13、必要不充分 14、 ③④

二、解答题：（本大题共6小题，共90分）

15、已知P：对任意
恒成立；

Q：
有两个不等的实根。求使“P且
Q”为真命题的m的取值范围。

15、解：
恒成立

只需
小于
的最小值

而当
时，
≥3

有两个不等的实根

或

要使“P且
Q”为真，只需

16、设a为实数,函数

(Ⅰ)求
的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线
轴仅有一个交点.

16、解：(I)
=3
－2
－1 若
=0，则
==－
，
=1…… 3分

当
变化时，
，
变化情况如下表：

(－∞，－
)

－

(－
，1)

1

(1，+∞)





+

0

－

0

+







极大值



极小值





∴
的极大值是
，极小值是
…………… 8分

(II)函数
，由此可知，取足够大的正数时，有
>0，取足够小的负数时有
<0，所以曲线
=
与
轴至少有一个交点结合
的单调性可知：

当
的极大值
<0，即
时，它的极小值也小于0，因此曲线
=
与
轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当
的极小值
－1>0即

(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线
=
与
轴仅有一个交点，它在(－∞，－
)上。

∴当
∪(1，+∞)时，曲线
=
与
轴仅有一个交点。……… 16分

17、 经试验证实，某型号的汽车每小时的耗油量
（升）与速度
（千米/小时）的关系式为
.已知甲乙两地相距180千米，限速120千米/小时.

（1）若车速为45千米/小时，求汽车从甲地到乙地的耗油量；

（2）当车速为
（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为
（升），

求函数
的解析式；

（3）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少.

17．解：(1)
,

,
.

若车速为45千米/小时，汽车从甲地到乙地的耗油量为
升.

-----------

（2）
，

.

------------

（3）

------------

当
时，
；当
时，
；当
时，

因此，当
时，
有最小值.（为11.25）

即当车速为90（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量最少. -----------

18、已知函数

.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2) 当a >0时，求函数
在
上最小值.

18、解： (Ⅰ)
(
), …………………2分

①由
，得
…………………4分

②由
，得
……………6分

故函数
的单调递增区间为
,单调减区间是
. ……………… 8分

(Ⅱ)①当
,即
时,函数
在区间[1,2]上是减函数,

∴
的最小值是
. ……………10分

②当
，即
时，函数
在区间[1,2]上是增函数，

∴
的最小值是
. 　　　………………12分

③当
，即
时，函数
在
上是增函数，在
是减函数．

又
，

∴当
时,最小值是
；

当
时,最小值为
.　 ……15分　　　　　　

综上可知,当
时, 函数
的最小值是
；当
时，函数
的最小值是
.　　　　　　　　　　　　　 　 ………………16分

19、某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x>6），年销量为u万件，

若已知
与
成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

（1）求年销售利润y关于x的函数关系式；

（2）求售价为多少时，