宜兴市东山高级中学元旦作业高二理科数学

编者：李江锋

一、填空题

1．命题“
”的否定是 ．

2．函数
的导数
．

3．函数
的单调减区间为 ．

4．下列有关命题的说法中，错误的是

①命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

②“
”是“
”的充分不必要条件；

③若
为假命题，则
、
均为假命题．

5．已知抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．

6．底面边长为
，高为
的正三棱锥的全面积为
．

7．奇函数
在
处有极值，则
的值为 ．

8．若
是三条互不相同的空间直线，
是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

①若
则
； ②若
则
；

③若
则
； ④若
则

9．如上右图椭圆
的离心率
，圆
的半径为
，过点
作圆
的切线，切点为
，在
轴的上方交椭圆于点
．则
．

10．设奇函数
定义在
上且
，当
时，
,则关于
的不等式
的解集为 ．

二、解答题：

11．已知命题
表示双曲线，命题
表示椭圆．

⑴若命题
为真命题，求实数
的取值范围．⑵判断命题
为真命题是命题
为真命题的什么条件．

12．在棱长为
的正方体
中，
分别是
中点，
在棱
上，
，
是
的中点，

（1）求证：
；（2）求
与
所成的角的余弦；

（3）求
的长

13．如右图，直三棱柱
中，点
是
上一点.

⑴若点
是
的中点，求证:
平面
；

⑵若平面
平面
，求证:
.

14. 如图，平面
平面
，四边形
与

都是直角梯形，
，
，

，

（Ⅰ）证明：
四点共面；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值

（Ⅲ）求二面角
的余弦大小；

15．如图，储油灌的表面积
为定值，它的上部是半球，下部是圆柱，半球的半径等于圆柱底面半径．

⑴试用半径
表示出储油灌的容积
，并写出
的范围．

⑵当圆柱高
与半径
的比为多少时，储油灌的容积
最大？

16．如图，椭圆
与椭圆
中心在原点，焦点均在
轴上，且离心率相同．椭圆
的长轴长为
，且椭圆
的左准线
被椭圆
截得的线段
长为
，已知点
是椭圆
上的一个动点．⑴求椭圆
与椭圆
的方程； ⑵设点
为椭圆
的左顶点，点
为椭圆
的下顶点，若直线
刚好平分
，求点
的坐标；

⑶若点
在椭圆
上，点
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

17．已知函数
．

⑴当
时，①若
的图象与
的图象相切于点
，求
及
的值；

②
在
上有解，求
的范围；

⑵当
时，若
在
上恒成立，求
的取值范围．

东山高级中学高二数学元旦作业---理科

一、填空题

1．命题“
”的否定是 ．

2．函数
的导数
．

3．函数
的单调减区间为 ． 第9题图

4．下列有关命题的说法中，错误的是

①命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

②“
”是“
”的充分不必要条件；③若
为假命题，则
、
均为假命题．

5．已知抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ．

6．底面边长为
，高为
的正三棱锥的全面积为
．

7．奇函数
在
处有极值，则
的值为 ．

8．若
是三条互不相同的空间直线，
是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ①若
则
； ②若
则
；

③若
则
； ④若
则

9．如上右图椭圆
的离心率
，圆
的半径为
，过点
作圆
的切线，切点为
，在
轴的上方交椭圆于点
．则
．

10．设奇函数
定义在
上，其导函数为
，且
，当
时，
,则关于
的不等式
的解集为 ．

1．
2．
3．（0，e-1） 4．③ 5．

6．
7．
8．④ 9．
10．

二、解答题：

11．已知命题
表示双曲线，命题
表示椭圆．

⑴若命题
为真命题，求实数
的取值范围．⑵判断命题
为真命题是命题
为真命题的什么条件．

⑴
命题
表示双曲线为真命题，

则
， ……3分

∴
； ……5分

⑵
命题
表示椭圆为真命题，

， ……8分

∴
或
， ……10分

或

∴
是
的必要不充分条件. ……14分

12.在棱长为
的正方体
中，
分别是
中点，
在棱
上，
，
是
的中点，

（1）求证：
；（2）求
与
所成的角的余弦；

（3）求
的长

解：如图以
为原点建立空间直角坐标系
，

则
，
，
，
，

，
，
，

（1）
，
，

∴
，∴
．

（2）∵
， ∴
，

，
，

∴
，∴
与
所成的角的余弦
．

（3）∵
，∴
．

13．如右图，直三棱柱
中，点
是
上一点.

⑴若点
是
的中点，求证:
平面
；

⑵若平面
平面
，求证:
.

⑴连接
,设
,则
为
的中点, ……2分

连接
,由
是
的中点,得
， ……4分

又
,且
,

所以
平面
……7分

⑵在平面
中过
作
，因平面
平面
，

又平面
平面
，所以
平面
， ……10分

所以
，

在直三棱柱
中，
平面
，所以
， …12分

又
，所以
平面
，

所以
. ……15分

14.如图，平面
平面
，四边形
与

都是直角梯形，