2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试卷

2014．11

(考试时间：100分钟 总分：100分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上）

1．下列说法正确的是（ ）

A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面
有不同在一条直线上的三个交点

2．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．圆
：
与圆
：

的位置关系是（ ）

A．相交 B．外切

C．内切 D．相离

4．已知
，是两条不同的直线，是一个平面，

则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
∥，
，则
∥ D．若
∥，∥，则
∥

5．过点
的直线
与圆
有公共点，则直线
的倾斜角的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知椭圆
的左、右焦点为
，离心率为
，过
的直线
交椭圆
于
两点．若△
的周长为
，则椭圆
的方程为(　　)

A．
B．

C．
D．

7．设
是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）

A．若
与
共面，则
与
共面

B．若
与
是异面直线，则
与
是异面直线

C．若
，则

D．若
，则

8．如图，定点，都在平面内，定点
，
，
是内异于和的动点，且
．那么，动点C在平面内的轨迹是（ ）

A． 一条线段，但要去掉两个点

B． 一个圆，但要去掉两个点

C． 一个椭圆，但要去掉两个点

D． 半圆，但要去掉两个点

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）

9．毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．

10．如图，正四棱柱
（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线
与AD所成角的正切值______________．

11．已知椭圆
的一个焦点是
，则
；若椭圆上一点与椭圆的两个焦点
构成的三角形
的面积为
，则点的坐标是________．

12．直线
和
将单位圆
分成长度相等的四段弧，则
________.

13．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是 ．

14．已知点
，点B是圆F：
（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交
于，则动点的轨迹方程为______________．

三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）

15．如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点是
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）若
，求点到平面
的距离．

16．已知圆
：
，直线
与圆
相交于，两点．

（Ⅰ）若直线
过点
，且
，求直线
的方程；

（Ⅱ）若直线
的斜率为，且以弦
为直径的圆经过原点，求直线
的方程．

17．如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的正方形，平面
⊥平面
，
．

（Ⅰ）求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）若点是线段
的中点，请问在线段
是否存在点，使得
面
？若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）（本小问只理科学生做）求二面角
的大小．

18．已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
，右顶点为
，设点
．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值．

（草稿纸）

2014～2015学年度第二学期期中练习

高 二 数 学 答 案2014.11.14

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

B

A

D

A

C

B



二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案

















三、解答题（本大题共4小题，共44分）

15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由
平面
可得PA?AC，

又
，所以AC?平面PAB，

所以
． ……… 4分

（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线，

所以EO
PB．

又因为
面
，
面
，

所以PB
平面
． ………8分

（Ⅲ）取
中点，连接
．

因为点是
的中点，所以
．

又因为
平面
，所以
平面
．

所以线段
的长度就是点到平面
的距离．

又因为
，所以
．

所以点到平面
的距离为． ……… 12分

16．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题设知直线
的斜率存在，设其方程为
，即
．

圆
：
，即
，

圆心
，半径为
．

由
，知圆心到直线
的距离为
，

于是
，即
，

整理得
，解得，
或
．

所以直线
的方程为
或
．……… 5分

（Ⅱ）由直线
的斜率为，设直线
的方程为
．

由
，

得
．

令
，解得
． （1）

设
，则
，
．

因为以
为直径的圆过原点，所以
．

所以
，即
．

代入得
，解得
或
，满足（1）．

故直线
的方程为
或
．……… 10分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）因为四边形
为正方形，所以AA1 ⊥AC．

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，

且平面
平面
，

所以AA1⊥平面ABC．……… 4分（文6分）

（Ⅱ）当点是线段
的中点时，有
面
．

连结
交
于点，连结
．

因为点是
中点，点是线段
的中点，

所以
．

又因为
面
，
面
，

所以
面
．……… 8分（文12分）

（Ⅲ）因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥
．

又因为AC⊥
，所以
面
．

所以
面
．

所以

，

．

所以
是二面角
的平面角．

易得
．

所以二面角
的平面角为
．……… 12分

18．（本小题满分10分）

解（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴
，半焦距
，则半短轴
．

又椭圆的焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为
．……… 4分

（Ⅱ）当直线
垂直于轴时，
，因此
的面积
．

当直线
不垂直于轴时，该直线方程为
，代入
，

解得B（
,
），C（－
,－
），

则
，又点A到直线
的距离
，

∴△ABC的面积

．

于是

．

由
，得
，其中当
时，等号成立．

∴
的最大值是
． ……… 10分