江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期中考试 数学（理）

(考试用时：120分钟 满分160分)

注意事项：

所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.在直角坐标系中，直线
的斜率是 ▲ ．

2.圆
的半径是 ▲ ．

3.椭圆
的焦点坐标为 ▲ ．

4.抛物线
的准线方程为 ▲ ．

5.双曲线
的渐近线方程是 ▲ ．

6.若圆
与圆
相外切，则实数
▲ ．

7.已知点P为直线
上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是 ▲ ．

8.若方程
表示椭圆，则
的取值范围是 ▲ ．

9.已知两圆
和
相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ▲ ．

10.已知点P在抛物线
上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当
取最小值时，点P的坐标为 ▲ ．

11.已知点P是圆C：
上任意一点，若点P关于直线
的对称点仍在圆C上，则
的最小值是 ▲ ．

12.已知O为坐标原点，点
，动点P与两点O、A的距离之比为1∶
，则P点轨迹方程是 ▲ .

13.设集合
，当
时，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14.已知椭圆C：
的左、右焦点分别
、
，过点
的直线交椭圆C于
两点，若
，且
，则椭圆C的离心率是 ▲ .

二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分14分）已知三点P（5，2）、
（－6，0）、
（6，0）．

（Ⅰ）求以
、
为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、
、
关于直线
的对称点分别为
、
、
，求以
、
为焦点且过点
的双曲线的标准方程．

17．（本题满分14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250
m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.

18．（本题满分16分）过点P(–4，4)作直线l与圆O：
相交于A、B两点.

（Ⅰ）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l的斜率为
，求弦AB的长；

（Ⅲ）若一直线与圆O相切于点Q且与轴的正半轴，轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．

19．（本题满分16分）在平面直角坐标系
中，抛物线C的顶点在原点，经过点
其焦点F在轴上.

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；

（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；

（Ⅲ）设点
,过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB,PF,PD的斜率分别为
，求证：
．

20.（本题满分16分）在平面直角坐标系
中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为
.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为
.

⑴求圆M的方程；

⑵当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

2014-2015学年度第一学期期中试卷

高二数学（理科）参考答案

一、填空题

1. 2 2.3 3.
4.
5.
6.
7.

8.
9. x + 3y – 5 =0 10.
11. 18

12.
（或
） 13.
14.

二、解答题

15. 解：由题意得：（1）
，解得：
，所以
………3分

因为所求直线与直线
平行，所以
，

则所求直线方程为：
………………7分

（2）直线MN所在直线的斜率为：
………………10分

因为所求直线与两点
所在直线垂直，所以

则所求直线方程为：
………………14分

16.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
+

，其半焦距
．

，

∴

，
， ………………5分

故所求椭圆的标准方程为
+
； ………………7分

（2）点P（5，2）、
（－6，0）、
（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：

、
（0，-6）、
（0，6） ………………9分

设所求双曲线的标准方程为
-

，由题意知半焦距
，

，

∴

，
， ………………12分

故所求双曲线的标准方程为
–
． ………………14分

17. 解：圆形道的方程为x2+y2=2500， ………………2分

引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250
)， ………………4分

设
的方程为
，由图可知

又
与圆
相切，
到
距离
，

解得
，

的方程为
①， ………………8分

又
，

则OP的方程是：
② ………………10分

由①②解之得点坐标
………………13分

∴引伸道在所建坐标系中的方程为
，出口P的坐标是

……………………14分

18.解：（1）因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，

则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为
，

即
； ……………………4分

（2）因为直线l的斜率为
，所以直线l的方程是：
，

即
， ……………………6分

设点O到直线l的距离为d，则
，

所以
，解得：
； ……………………10分

（3）设切点Q的坐标为
．则切线斜率为
．

所以切线方程为
．又
，则

……………………12分

此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积
．……14分

由
知当且仅当
时，
有最大值．

即
有最小值．因此点Q的坐标为
． ……………………16分

19.解：（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为：
，

因为抛物线经过点
，所以
，解得：
，

则抛物线C的标准方程是：
； …………………………3分

（Ⅱ）由（1）知：F(1,0)，OA的中点M的坐标为
，

则
，所以直线FM的方程是：
； …………6分

（Ⅲ）当直线的斜率不存在时，则

所以
，则
；………………8分

当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为

设
，则
，

同理可得：
，所以

=
， …………………12分

由方程组
消去y，并整理得：
，

所以
， …………………14分

则
，又
，所以
，

综上所述：
………………………16分

20. 解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x, y)，则

因为动点P与A、B连线的斜率之积为
，所以
，

化简得：
，所以点P的轨迹方程为
（x≠±4） …………6分

（Ⅱ）（1）由题意知：C(0，– 2)，A(–4，0)，

所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3， ……………8分

设M（a, 2a+3）(a>0)，则⊙M的方程为
，

因为圆心M到y轴的距离d=a，由
，得：
，…………10分

所以圆M的方程为
。……………………………………11分

（2）假设存在定直线l与动圆M均相切，

当定直线l的斜率不存在时，不合题意， ……………………12分

当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，

则
对任意r>0恒成立，

由
，得：

， ………………14分

所以
，解得：
或
，

所以存在两条直线y=3和4x+3y – 9=0与动圆M均相切 ………………16分