2014-2015学年度第一学期期中考试

二、解答题（共90分）

15.（本小题满分14分）

解：若命题为真，则有
，
----------------------------------3

若命题为真，则有
，
，
-------------------6

若“
”为真，
为假，则
必然一真一假

当
，的取值范围为

=
-------9

当
，的取值范围为

=
-------12

的取值范围为
---------------------------------14

（本小题满分14分）

证明：（1）因为AB⊥平面BCD，
,
-------------------------3

在
中，BD＝CD＝1，
,

--------------------------------------------------------------5

,
,CD⊥平面ABD------------7

因为AB⊥平面BCD，
,
-------------9

又M为AD中点,AB＝BD＝1,
------------ --11

=
-----------------------------14

18．（本小题满分16分）

证明：(1) 连接
于点E, 连接
,

在直三棱柱
中，四边形
是平行四边形，

点E为对角线
的交点，

点E为
的中点,又点是
的中点

DE为
的中位线，
//
------------------------3

又因为
,

平面
--------------------------------------------6

(2)作
,
,
,

,
--------------------------------8
,
------------------------------------------------------------10

又
,
-----------------------------12

,
,
--------------14

,
----------------------------------------------------------16

（本小题满分16分）

解：（1）圆的方程可化为：
，当斜率不存在时，直线方程为
，截得的弦长恰为
-------------------------------------------------------------------------------------- --4

当斜率存在时，设所求直线方程为
，因为截得的弦长为
，圆心到直线的距离为，即
，
，直线方程为
-------8

所求直线方程为
和

（2）法一：直线
过圆心（2,1），设
，则
,

,
，
=
--------12

因为点P在圆上，
，
=-4+15=11----------------16

法二：直线
过圆心（2,1），
，
=
--------------------16

法三：设
，
，由
得
，

=
------------------12分

--------------------------14
+
+6+25=11--------------------------16

20.（本小题满分16分）

解：（1）由平面几何知识可知点A、C与两切点构成正方形，算得
或
,由对称性可得两切线斜率为
，

当
，直线
、
的方程为
-------2

当
，直线
、
的方程为
-----4

法一：当任一条直线斜率不存在时，直线
、
的方程为
、
，此时圆M的方程为
，圆M与圆C相离，不符合题意--------------6

当两条直线斜率都存在时，设
、
的方程分别为
、
，设圆M的半径为，则

，
，

(，
(，
(

(+(得
，即
④，由(④解得

圆M的方程为
-----------------------------------10

法二、设圆M的半径为，由平面几何知识可知点A、M与两切点构成正方形，
，

，即
(

又圆心为
的圆和圆
外切，有
，即
(

由((解得

圆M的方程为
---------------------------------10

设圆心C到
、
的距离分别为
、
，则

弦长之和为


----------14

当
=
=
时等号成立

、
被圆
所截得弦长之和的最大值为
---------------------16