江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期中考试 数学（文）

(考试用时：120分钟 满分160分)

注意事项：

所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.在直角坐标系中，直线
的斜率是 ▲ ．

2.圆
的半径是 ▲ ．

3.椭圆
的焦点坐标为 ▲ ．

4.抛物线
的准线方程为 ▲ ．

5.双曲线
的渐近线方程是 ▲ ．

6.若圆
与圆
相外切，则实数
▲ ．

7.已知点P为直线
上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是 ▲ ．

8.若方程
表示焦点在y轴上的椭圆，则
的取值范围是 ▲ ．

9.已知两圆
和
相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ▲ ．

10.已知点P在抛物线
上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3,2），当
取最小值时，点P的坐标为 ▲ ．

11.已知点P是圆C：
上任意一点，若P点关于直线
的对称点仍在圆C上，则
的最小值是 ▲ ．

12.已知双曲线
的左右焦点分别为
，为
的右支上一点，且

，则
的面积等于 ▲ .

13.设集合
，当
时，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14.设椭圆
的左、右焦点为
，过
作轴的垂线与椭圆
交于
两点，
与轴交于点，若
，则椭圆
的离心率等于___▲___.

二、解答题（本题共6小题，共90分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本题满分14分）已知点P为直线
和直线
的交点，
.

（Ⅰ）求过点P且与直线
平行的直线方程；

（Ⅱ）求过点P且与直线MN垂直的直线方程．

17.（本题满分14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北
m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.

18.（本题满分16分）已知直线l：
，两点
，O为坐标原点.

（Ⅰ）动点
与两点O、A的距离之比为1∶
，求P点所在的曲线方程；

（Ⅱ）若圆C过点B，且与直线l相切于点A，求圆C的方程.

19．（本题满分16分）过点P(–4，4)作直线l与圆O：
相交于A、B两点.

（Ⅰ）若直线l的斜率为
，求弦AB的长；

（Ⅱ）若一直线与圆O相切于点Q且与轴的正半轴，轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标.

20.（本题满分16分）已知椭圆
经过点
，且经过双曲线
的顶点，是该椭圆上的一个动点，
是椭圆的左右焦点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的最大值；

（Ⅲ）求
的最大值和最小值．

2014-2015学年度第一学期期中试卷

高二数学（文科）参考答案

一：填空题

1. 2 2.3 3.
4.
5.
6.

7.
8.
9. x + 3y – 5 =0 10.
11. 8 12. 48

13.
14.

二：解答题

15. 解：由题意得：

（Ⅰ）
，解得：
，所以
……………………3分

因为所求直线与直线
平行，所以
，

则所求直线方程为：
……………………7分

（Ⅱ）直线MN所在直线的斜率为：
……………………10分

因为所求直线与两点
所在直线垂直，所以

则所求直线方程为：
……………………14分

16. 解：（Ⅰ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为
+

，其半焦距
．

，

∴

，
， ……………………6分

故所求椭圆的标准方程为
+
； ……………………7分

（Ⅱ）点P（5，2）、
（－6，0）、
（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：

、
（0，-6）、
（0，6） ……………………9分

设所求双曲线的标准方程为
-

，由题意知半焦距
，

，

∴

，

， ……………………13分

故所求双曲线的标准方程为
–
． ……………………14分

17. 解：圆形道的方程为x2+y2=502， ……………………2分

引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250
)， ……………………4分

设
的方程为
，由图可知

又
与圆
相切，
到
距离
，

解得
，

的方程为
①， ……………………8分

又
，

则OP的方程是：
② ……………………10分

由①②解之得点坐标
………………13分

∴引伸道所在的直线方程为
，出口P的坐标是

…………………………14分

18. 解：（Ⅰ）依题意得：PO∶PA=1∶
，则PA2=3PO2，……………………2分

所以
， ……………………4分

即
，（或表示为：
） ……………………6分

（Ⅱ）设圆C的方程为：
，

依题意：圆心
既在过点A且与直线l垂直的直线上，又在AB的垂直平分线上，

因为
，所以AB的垂直平分线方程是：
，…………………8分

过点A且与直线l垂直的直线方程是：
，即
，…………10分

所以
，解得：
， ……………………12分

此时：
， ……………………14分

所以，圆C的方程是：
……………………16分

19. 解：（Ⅰ）因为直线l的斜率为
，所以直线l的方程是：
，

即
， ……………………3分

设点O到直线l的距离为d，则
，

所以
，解得：
； ……………………7分

（Ⅱ）设切点Q的坐标为
．则切线斜率为
．

所以切线方程为
．又
，则

． ………………10分

此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积
．……13分

由
知当且仅当
时，
有最大值．

即
有最小值．因此点Q的坐标为
． ……………………16分

20. 解：（Ⅰ）双曲线
的顶点为
，

由题意，设椭圆
的方程为
，

则将
代入可得
∴a=2 ……………………3分

∴椭圆C的方程为
； ……………………5分

（Ⅱ）设
，则
，且
，

∴
……………………7分

∴
时，
的最大值为4； ……………………10分

（应用基本不等式同样给分）

（Ⅲ）设P（x，y），则
……………………12分

∵x∈[﹣2，2]

∴当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，
有最小值﹣2；……………………14分

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
有最大值1 ……………………16分