一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1．把命题“
”的否定写在横线上__________．

2．直线
的倾斜角是 ．

3．已知一个球的表面积为
，则这个球的体积为
。

4． “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一个）

5．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则实数a＝________.

6．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．

7．已知圆锥的底面半径是3，高为4，这个圆锥的侧面积是________．

8．经过点
且到原点的距离等于2的直线方程是____________.

9．设
为使互不重合的平面，
是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①
②

③
④若
；

其中正确命题的序号为 ．

10． 圆心在直线
上的圆
与轴的正半轴相切，圆
截轴所得弦的长为
，则圆
的标准方程为 .

11． 在正三棱柱
中，各棱长均相等，
的交点为，则
与平面
所成角的大小是_______．

12．若圆C:
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是

13．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。

14．在平面直角坐标xOy中，设圆M的半径为1，圆心在直线
上,若圆M上不存在点N，使
,其中A(0，3)，则圆心M横坐标的取值范围是 .

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知直线
过点
,根据下列条件分别求出直线
的方程：

在轴、轴上的截距之和等于0；

与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16.

17．（本小题满分14分）

设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0（其中a≠0），q：实数x满足

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18．（本小题满分16分）

在矩形
中，
, E、F为
的两个三等分点，
和
交于点
，
的外接圆为圆
．

（1）求证：
；

（2）若圆
与圆
无公共点，求圆
半径的取值范围.

20．（本小题满分16分）

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．

⑴求圆C的方程；

⑵设Q为圆C上的一个动点，求
的最小值；

⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，

O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

2014-2015学年第一学期高二期中考试

数学参考答案

二、解答题：15.(1)①当直线经过原点时在轴、轴上的截距之和等于0,

此时直线的方程为
………………………………3分

②当直线经不过原点时,设直线的方程为

因为
在直线上,所以
,
,即
……………6分

综上所述直线的方程为
或
………………………………7分

（2）设在轴、轴上的截距分别为
,则直线的方程为

因为
在直线上,所以
………………………………9分

又由与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16,可得
…………11分

所以
或
………………………………13分所以直线的方程为
或

综上所述直线的方程为
或
………………………14分

16. 证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1， …………1分∵三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，………………………………2分

∴GH∥BC ………………………………4分

∴B、C、H、G四点共面；………………………………6分

（2）∵E、F分别为AB、AC中点， ∴EF∥BC

由(1)知GH∥BC, ∴EF∥GH

∵GH?平面BCHG，EF?平面BCHG,

∴EF∥平面BCHG ………………………………9分

∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，

∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG

同理可证A1E∥平面BCHG , ………………………………12分

又∵A1E∩EF=E，

∴平面EFA1∥平面BCHG．………………………………14分

17.(1)当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3. ………2分

由
，得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. ……………4分

若p∧q为真，则p真且q真，……………5分

所以实数x的取值范围是(2,3)．……………7分



18.(1)在矩形
中，以
所在直线为轴，以
中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． …………………1分

由题意可知
.

所以直线
和直线
的方程分别为:
，………3分

由
　解得
?所以点的坐标为
．…………………5分

所以
，

因为
，所以
.?????????…………………8分

(2)由（1）知圆的圆心为
中点
，半径为
，…………………9分

所以圆方程为?
.??????…………………11分

圆的圆心为
，
，设的半径为

因为圆与圆无公共点，所以圆内含于圆或圆与圆相离，……………13分

故
或

所以
或
…………………15分

即圆半径的取值范围为
…………………16分

19. (1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝
，AB＝8，

∴AD2+BD2=AB2.

∴AD⊥BD. ………………………………1分

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD. ………………………………3分

又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD. ……… 5分

(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD. ………………6分

证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.

∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．

∵AB＝2CD，

∴CN∶NA＝1∶2.

又∵CM∶MP＝1∶2，∴ CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN. ………………………………8分

∵MN?平面MBD，PA?平面MBD，∴PA∥平面MBD. ………………………………10分

(3)过点P作PO⊥AD交AD于O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD.

即PO为四棱锥P－ABCD的高．………………………………12分

又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝
×4＝
.…………………13分

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为
，此即为梯形ABCD的高．

梯形ABCD的面积SABCD=
.…………………………14分

四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD=
. …………………………16分

20、解：（1）设圆心
，则
，解得
…………2分

则圆的方程为
，将点的坐标代入得
，故圆的方程为
…………4分

∴
， 所以
的最小值为-4． …………10分

(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝-k(x－1)，

由
得
，…………12分

因为点P的横坐标一定是该方程
的解，故可得
.…………14分同理，
，所以
，所以，直线AB和OP一定平行. …………16分