湖南省娄底市2014-2015学年上学期高二期中联考数学（理）题卷

本卷共21小题 时量：120分钟　　满分：12０分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．命题：“能被4整除的数一定是偶数”，其等价命题（ ）

A．偶数一定能被4整除

B．不是偶数不一定能被4整除

C．不能被4整除的数不一定是偶数

D．不是偶数一定不能被4整除

2．已知命题P:
是
的一个根，命题q:
，则p是q的（ ）条件。

A. 充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分也不必要

3．等差数列
中，若
，则
（ ）

A.12 B.24 C.16 D.48

4．数列
的通项公式是
，若前n项和为10，则项数n为（ ）

A．11 B．99 C.120 D．121

5．等比数列
的各项均为正数，且
，

则

A．12 B． 10 C．8 D．

6．设x，y为正数，若
，则
最小值为( )

A．6 B.9 C.12 D.15

7.一元二次不等式
对一切实数x恒成立，则k的范围是（）

A.（-3,0） B.(-3，0] C.
D.

8.若
满足
，则
为 （ ）三角形

A．等腰 B．等边 C．等腰直角 D．等腰或直角

9. 在
中，
，则A的范围是（）

A
B.
C.
D.

10.在抛物线
中，以（1，-1）为中点的弦所在的直线方程为（ ）

A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C. 4x+y-3=0 D.4x+y+3=0

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．命题
的否定是

12．已知椭圆
上一点
到椭圆一个焦点的距离为
则
到另一个焦点的距离为

13．已知实数x，y满足
则z＝2x＋4y的最大值为

14、设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为

15.已知椭圆C：
，
为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，
的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为

三、解答题(本大题共6小题，共60分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤).

16.（10分）已知命p：方程
的解都在
内；命题q：对任意实数
，不等式
恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求的取值范围。

17、（10分）设二次函数
，若
>0的解集为
，函数
，

（1）求与b的值 ； （2）解不等式

18．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边.已知a，b，c成等比数列，且
.

(1)求角A的大小；(2)求
的值.

19．(10分)已知数列
是等差数列，其前n项和为
，
，
.

(1)求数列
的通项公式；(2) 求前n项和
；

(3)求证：
.

20.（10分） 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)

（Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最 小，并求出最小总费用。

21、（10分）椭圆

＞
＞
与直线
交于、
两点，且
，其中
为坐标原点.

（1）求
的值；

（2）若椭圆的离心率满足
，求椭圆长轴的取值范围.

湖南省娄底市2014-2015学年上学期高二期中联考

数学（理科）考试参考答案

一. 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

题次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

 D

 C

B

C

B

B

A

D

C

C



二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11、
12. 8

13、 14 14、
15、

三. 解答题（本大题共6小题，共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本题满分10分）

解：解：由
得

或

∴当命题p为真命题时，
且
∴

又当命题q为真命题时，“对任意实数，不等式
恒成立”

∴△=
∴

若命题“p∧q”是真命题， 则p为真命题且q为真命题

∴
即的取值范围是

17. （本题满分10分）

解：（1）
的解集为

则
，1是方程
两根

（2）

， 则
>
，即
得
不等式的解集

18. （本小题满分10分）

解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，

所以b2＋c2－a2＝bc.

根据余弦定理得cosA＝
，所以∠A＝60°.

(2)根据正弦定理，得sinB＝
.因为b2＝ac，∠A＝60°，

所以
.

19．(本小题满分10分)

解：(1)设等差数列{an}的公差是d，依题意得

解得

所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n.

(2)an＝2n，所以Sn＝
＝n(n＋1).

(3)证明：

.所以

20.（10分）解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m

则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

由已知xa=360,得a=
, 所以y=225x+

(II)

.

当且仅当225x=
，即x=24时等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

21、（10分）解、设
，由OP ⊥ OQ
x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

又将

，

代入①化简得
.

(2)
又由（1）知

，∴长轴 2a ∈ [
].