2013-2014学年高二下学期期末考试数学（理）试题

试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：

1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；

3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；

5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ｉ卷

一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)

1、已知集合
则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、已知
，则
的值为（ ）

A、
B、
C、
D、

3、下列命题错误的是 （ ）

A、命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题为“若方程
无实数根，则
”

B、“
”是“
”的充分不必要条件

C、对于命题
,使得
，则
，均有

D、若
为假命题，则

均为假命题

4、设
为等比数列
的前
项和,
,则
（ ）

A、
B、
C、
D、

5、运行如下程序框图,如果输入的
,则输出s属于（　　）

A、
B、
C、
D、

6、若当
时，函数
始终满足
，则函数
的图象大致为（ ）

7、函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数
在
上的最小值为（ ）

A、
B、
C、
D、

8、设变量
满足不等式组
，则
的最小值为（ ）

A、
B、
C、
D、

9、已知
是可导的函数，且
对于
恒成立，则（ ）

A、
B、

C、
D、

10、定义在
上的奇函数
,当
≥0时,

则关于
的函数
(0<
<1)的所有零点之和为（　　）

A、1-
B、
C、
D、

第Ⅱ卷

二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）

11、复数满足
，则复数
的实部与虚部之差为

12、用数字1,3组成四位数，且数字1,3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个

13、已知函数
，其导函数为
，则

14、如图，在等腰直角三角形
中，
，

是
的重心，
是
内的任一点（含边界），则

的最大值为_________

15、给出下列命题;

①设
表示不超过
的最大整数，则

；

②定义在
上的函数
，函数
与
的图象关于
轴对称；

③函数
的对称中心为
；

④已知函数
在
处有极值
，则
或
；

⑤定义：若任意
，总有
，就称集合
为
的“闭集”，已知
且
为
的“闭集”，则这样的集合
共有7个。

其中正确的命题序号是____________

三．解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

16、（12分）已知函数
,
的最大值为2。

（Ⅰ）求函数
在
上的值域；

(Ⅱ)已知
外接圆半径
，
，角
所对的边分别是
，求
的值．

17、（12分）三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（２）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，

PB与底面ABC成60°角，

求二面角B―PC―A的大小。

18、（12分）成都外国语学校开设了甲，乙，丙三门选修课，学生对每门均可选或不选，且选哪门课程互不影响。已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用
表示该学生选修课程的门数，用
表示该学生选修课程门数和没有选修课程门数的乘积。

(1)记“函数
为偶函数”为事件A,求事件A的概率；

(2)求
的分布列与数学期望.

19、（12分）工厂有一段旧墙长
m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为
m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是元；(3)拆去1 m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：

①利用旧墙的一段

(x<14)为矩形厂房一面的边长；

②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。

问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？

20、（13分）已知数列
满足
，
（
）。

（Ⅰ）证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求
的前n项和
；

（Ⅲ）设
，数列
的前n项和
，求证：对
。

21、（14分）已知函数
．

(Ⅰ)求函数
的最小值； (Ⅱ)求证：

；

(Ⅲ)对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”.设函数
，
，
与
是否存在“分界线”？

若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

成都外国语学校高2015届高二下期期末考试

理科数学答案

1-10：CADB CBAB DA

11、0 12、14 13、2 14、4 15、①⑤

17、(1)证明：∵PA(面ABC,(PA(BC, ∵AB(BC,且PA∩AB=A,(BC(面PAB

而BC(面PBC中,(面PAB(面PBC. ……5分

解:(2)过A作

则(EFA为B?PC?A的二面角的平面角 ……8分

由PA=,在Rt(PBC中,(COB=.

Rt(PAB中,(PBA=60(. (AB=,PB=2,PC=3

(AE=  = 

同理：AF= ………10分

((EFA=  = , ((EFA=60. ………12分

另解：向量法：由题可知：AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系…………7分

B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假设平面BPC的法向量为=(x1,y1,z1),

(

取z1=，可得平面BPC的法向量为=(0,?3,)………9分

同理PCA的法向量为=(2,?,0)…………………11分

(<,>==,
所求的角为60° ………12分

18、解：设该生选修甲,乙,丙课程的概率依次为P1,P2,P3,则由题意知

，解得, ………4分

（1）由题意
，即该生为选三门或一门都不选。

因此P(
)=0.4(0.6(0.5+(1?0.4)(1?0.6)(1?0.5)=0.24即为所求. ………6分

（2）由题意可设
可能取的值为0,1,2,3

，

0

1

2

3



P

 0.12

 0.38

0.38

0.12




的分布列为：

--------------12分

19、解：(1)利用旧墙的一段xm(x<14)，则修墙费用为x·元，将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为(14－x)·元，其余建新墙的费用为·a元．

总费用y＝a＋a＋a＝a＝7a(0

∴y≥7a＝35a。当且仅当＝，即x＝12m时，ymin＝35a.

(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14，则修旧墙费用为×14＝a元，建新墙费用为a元．

总费用y＝a＋a＝a＋2a(x≥14)．

由t＝x＋在[，＋∞)上为增函数，得y1＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．

∴当x＝14m时，ymin＝a＋2a＝35.5a.

综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省

20、解：（Ⅰ）∵
，∴
，

又∵
，∴数列
是首项为3，公比为-2的等比数列，

=
，即
。………………………………4分

（Ⅱ）
，

=
=
。………8分

（Ⅲ）∵
=
，∴
，

当n≥3时，
=

=

=

,……………12分

又∵
，∴对
。……………………………13分

21、

（Ⅲ）设
.

则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最小值0，则
与
的图象在
处有公共点
．