四星高中使用

2013/2014学年度第二学期高二年级期终考试

数 学 试 题

注意事项：

　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．

　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．命题“
，
”的否定是 ▲ ．

2．设复数满足
（为虚数单位），则的实部为 ▲ ．

3．某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ ．

4．“
”是“
”的 ▲ 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.

5．一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 ▲ ．

6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 ▲ ．

7．在平面直角坐标系
中，已知中心在坐标原点的双曲线
经过点
，且它的右焦点与抛物线
的焦点相同，则该双曲线的标准方程

为 ▲ ．

8．已知点
在不等式组
所表示的平面区域内，则
的最大值为 ▲ ．

9．已知
，
，
，….，类比这些等式，若
（
均为正实数），则
= ▲ ．

10．（理科学生做）已知
展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 ▲ ．

（文科学生做）已知平面向量
满足
，
，
，则向量
夹角的余弦值为 ▲ ．

11．（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 ▲ 种不同的选派方案.（用数字作答）

（文科学生做）设函数
是奇函数，则实数的值为 ▲ ．

12．设正实数
满足
，则当
取得最大值时，
的值为 ▲ ．

13．若函数
在
上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．

14．设点为函数
与

图象的公共点，以为切点可作直线
与两曲线都相切，则实数
的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

（理科学生做）设某地区
型血的人数占总人口数的比为
，现从中随机抽取3人.

（1）求3人中恰有2人为
型血的概率；

（2）记
型血的人数为
，求
的概率分布与数学期望.

（文科学生做）设函数
，记不等式
的解集为.

（1）当
时，求集合；

（2）若
，求实数的取值范围.

16．（本小题满分14分）

（理科学生做）设数列
满足
，
.

（1）求
；

（2）先猜想出
的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.

（文科学生做）在
中，
，
，设
.

（1）当
时，求
的值；

（2）若
，求的值.

17．（本小题满分14分）

（理科学生做）如图，在直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，且

.

（1）求直线
与
所成角的大小；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

（文科学生做）设函数
.

（1）用反证法证明：函数
不可能为偶函数；

（2）求证：函数
在
上单调递减的充要条件是
.

18．（本小题满分16分）

如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆
构成，其底端三点
均匀地固定在半径为
的圆
上（圆
在地面上），
三点相异且共线，
与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为
，记用料总长为
，设
．

（1）试将表示为
的函数，并注明定义域；

（2）当
的正弦值是多少时，用料最省？

19．（本小题满分16分）

如图所示，在平面直角坐标系
中，设椭圆
，其中
，过椭圆内一点
的两条直线分别与椭圆交于点
和
，且满足
，
，其中
为正常数. 当点
恰为椭圆的右顶点时，对应的
.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求与
的值；

（3）当
变化时，
是否为定值？若是，请求出此定值；

若不是，请说明理由.

20．（本小题满分16分）

设函数

.

（1）当
时，求函数
的极大值；

（2）若函数
的图象与函数
的图象有三个不同的交点，求的取值范围；

（3）设
，当
时，求函数
的单调减区间．

四星高中使用

高二数学试题参考答案

一、填空题：每小题5分，计70分.

1.
； 2.1； 3.40； 4.充分不必要； 5.
；

6.21； 7.
； 8.6； 9.41； 10.（理）
，（文）
；

11.（理）55，（文）
； 12.3； 13.
； 14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

15．（本小题满分14分）

（理）解：（1）由题意，随机抽取一人，是
型血的概率为
， …………2分

3人中有2人为
型血的概率为
. …………6分

（2）
的可能取值为0，1，2，3， …………8分

，
，
，

， …………12分

. …………14分

（文）（1）当
时，
，解不等式
，得
， ……5分

. …………6 分

（2）
，
，

又
，
，
. …………9分

又
，
，解得
，实数的取值范围是
. ……14分

16．（本小题满分14分）

（理）解：（1）由条件
，依次得
，

，
， …………6分

（2）由（1），猜想
. …………7分

下用数学归纳法证明之：

①当
时，
，猜想成立； …………8分

②假设当
时，猜想成立，即有
， …………9分

则当
时，有
，

即当
时猜想也成立， …………13分

综合①②知，数列
通项公式为
. …………14分

（文）解：（1）当
时，
，

所以
， …………3分

. …………7分

（2）因为

， …………12分

，解得
. …………14分

（说明：利用其它方法解决的，类似给分）

17．（本小题满分14分）

（理）解：分别以
、
、
所在直线为
轴建立空间直角坐标系.

则由题意可得：
,
,
,
,
,
,

又
分别是
的中点，
,
. …………3分

（1）因为
，
，

所以
， …………7分

直线
与
所成角的大小为
. …………8分

（2）设平面
的一个法向量为
,由
,得
,

可取
， …………10分

又
，所以
， …………13分

直线
与平面
所成角的正弦值为
. …………14分

（文）解：(1)假设函数
是偶函数， …………2分

则
，即
，解得
， …………4分

这与
矛盾，所以函数
不可能是偶函数. …………6分

(2)因为
，所以
. …………8分

①充分性：当
时，
，

所以函数
在
单调递减； …………10分

②必要性：当函数
在
单调递减时，

有
，即
，又
，所以
. …………13分

综合①②知，原命题成立. …………14分

（说明：用函数单调性的定义证明的，类似给分；用反比例函数图象说理的，适当扣分）

18．（本小题满分16分）

解：（1）因
与地面垂直，且
，则
是

全等的直角三角形，又圆
的半径为3，

所以
，
， …………3分

又
，所以
， …………6分

若点
重合，则
，即
，所以
，

从而
，
. …………7分

（2）由（1）知
，

所以
，当
时，
， …………11分

令
，
，当
时，
；当
时，
；

所以函数L在
上单调递减，在
上单调递增，