2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （理科）试 题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

2014．6

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．设集合
,集合
,则
▲ ．

2．为虚数单位，复数
= ▲ ．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．“
”是“函数
为奇函数”的 ▲ 条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）

5．函数
在
处的切线的斜率为 ▲ ．

6．若tan
+
=4则sin2
= ▲ ．

7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙

两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）．

8．函数
的值域为 ▲ ．

9．已知
，

则
▲ ．

10．已知函数
的图象与函数
的图象恰有两个交点，

则实数
的取值范围是 ▲ ．

11．已知函数
是定义在
上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式

恒成立，则实数b的取值范围是 ▲ ．

12．设
是的两个非空子集，如果存在一个从
到的函数
满足：

(i)
；(ii)对任意
，当
时，恒有
．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：

①
；

②
；

③
；

④

其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ 　(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．

13．已知定义在上的奇函数
在
时满足
，且
在

恒成立，则实数的最大值是　　▲　　．

14．若关于的不等式
的解集中的正整数解有且只有3个，

则实数的取值范围是 ▲　．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知
，命题
，命题
．

⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；

⑵若命题
为真命题，命题
为假命题，求实数的取值范围．

16．（本小题满分14分）

已知函数
的最小正周期为
．

⑴求函数
的对称轴方程；

⑵设
，
，求
的值．

17．（本小题满分14分）

已知
的展开式的二项式系数之和为
，且展开式中含
项的系数为
．

⑴求
的值；

⑵求
展开式中含
项的系数．

18．（本小题满分16分）

如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数
，
时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．

⑴试确定A，和的值；

⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设
(弧度)，试用
来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）

19．（本小题满分16分）

已知函数
（
为实数，
），
．

⑴若
，且函数
的值域为
，求
的表达式；

⑵设
，且函数
为偶函数，判断
是否大0？

⑶设
，当
时，证明：对任意实数
，

(其中
是
的导函数) ．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，函数
．

⑴当
时，函数
的图象与函数
的图象有公共点，求实数
的最大值；

⑵当
时，试判断函数
的图象与函数
的图象的公共点的个数；

⑶函数
的图象能否恒在函数
的上方？若能，求出
的取值范围；若不能，请说明理由．

2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （理科附加题）

（全卷满分40分，考试时间30分钟）

2014．6

21．（本小题满分10分）

一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球
个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得
分．若从这个口袋中随机地摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是
．

⑴求的值；

⑵从口袋中随机摸出个球，设
表示所摸球的得分之和，求
的分布列和数学期望
．

22．（本小题满分10分）

已知函数
在
上是增函数．

⑴求实数的取值范围；

⑵当为中最小值时，定义数列
满足：
，且
，

用数学归纳法证明
，并判断
与
的大小．

23．（本小题满分10分）

如图，在三棱柱
中，
平面
，

，为棱
上的动点，
．

⑴当为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值；

⑵当
的值为多少时，二面角
的大小是45．

24．（本小题满分10分）

已知数列
为
，
表示
，
．

⑴若数列
为等比数列
，求
；

⑵若数列
为等差数列
，求
．

2014年6月高二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案

一、填空题：

1．
　 2．
3．
4．充分不必要

5．e 6．
7．6 8．

9．
10．
11．
12．②③④

13．
14．

二、解答题：

15⑴因为命题
，

令
，根据题意，只要
时，
即可， ……4分

也就是
； ……7分

⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，
，

命题q为真命题时，
，解得
……11分

因为命题
为真命题，命题
为假命题，所以命题p与命题q一真一假，

当命题p为真，命题q为假时，
，

当命题p为假，命题q为真时，
，

综上：
或
． ……14分

16⑴由条件可知，
， ……4分

则由
为所求对称轴方程； ……7分

⑵
，

因为
，所以
，

，因为
，所以
… …11分

． ……14分

17⑴由题意，
，则
； ……3分

由通项
，则
，所以
，所以
；…7分

⑵即求
展开式中含
项的系数，

， ……11分

所以展开式中含
项的系数为
． ……14分

18⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4；

又
，所以

，

因为
……5分

代入点B（-1，4），

，

又
； ……8分

⑵由⑴可知：
，得点C
即
，

取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以
，

即
，则圆弧段
造价预算为
万元，

中，
，则直线段CD造价预算为
万元，

所以步行道造价预算
，
． ……13分

由
得当
时，
，

当
时，
，即
在
上单调递增；

当
时，
，即
在
上单调递减

所以
在
时取极大值，也即造价预算最大值为（
）万元．……16分

19⑴因为
，所以
，

因为
的值域为
，所以
， ……3分

所以
，所以
，

所以
； ……5分

⑵因为
是偶函数，所以
，

又
，所以
， ……8分

因为
，不妨设
，则
，又
，所以
，

此时
，

所以
； ……10分

⑶因为
，所以
，又
，则
，

因为
，所以

则原不等式证明等价于证明“对任意实数
，
” ，

即
. ……12分

先研究
，再研究
.

① 记
，
，令
，得
，

当
，
时
，
单增；当
，
时
，
单减 .

所以，
，即
.

② 记
，
，所以
在
,
单减，

所以，
，即
.

综上①、②知，
.

即原不等式得证，对任意实数
，
……16分

20⑴
,

由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时
取最大值， ……1分

设切点横坐标为
，
，

, 即实数
的最大值为
； ……4分

⑵
，

即原题等价于直线
与函数
的图象的公共点的个数， ……5分

，

在
递增且
，
在
递减且
，

时，无公共点，

时，有一个公共点，