2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （文科）试 题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

2014．6

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1．设集合
,集合
,则
▲ ．

2．为虚数单位，复数
= ▲ ．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．“
”是“函数
为奇函数”的 ▲ 条件．

（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）

5．函数
在
处的切线的斜率为 ▲ ．

6．若tan
+
=4则sin2
= ▲ ．

7．点A（2,2）关于直线x-y-1=0的对称点
的坐标为 ▲ ．

8．函数
的值域为 ▲ ．

9．已知
，

则
▲ ．

10．已知函数
的图象与函数
的图象恰有两个交点，

则实数
的取值范围是 ▲ ．

11．已知函数
是定义在
上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式

恒成立，则实数b的取值范围是 ▲ ．

12．设
是的两个非空子集，如果存在一个从
到的函数
满足；

(i)
；(ii)对任意
，当
时,恒有
．

那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：

①
；

②
；

③
；

④

其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ 　(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．

13．已知点
，若分别以
为弦作两外切的圆
和圆
，

且两圆半径相等，则圆的半径为 ▲ 　．

14．若关于的不等式
的解集中的正整数解有且只有3个，

则实数的取值范围是 ▲　 ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知
，命题
，命题
．

⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；

⑵若命题
为真命题，命题
为假命题，求实数的取值范围．

16．（本小题满分14分）

已知函数
的最小正周期为
．

⑴求函数
的对称轴方程；

⑵设
，
，求
的值．

17．（本小题满分14分）

已知函数
（
为实数，
），
．

⑴若
，且函数
的值域为
，求
的表达式；

⑵设
，且函数
为偶函数，求证：
．

18．（本小题满分16分）

如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数
，
时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．

⑴试确定A，和的值；

⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设
(弧度)，试用
来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）

19．（本小题满分16分）

如图，圆
与坐标轴交于点
．

⑴求与直线
垂直的圆的切线方程；

⑵设点
是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线
交轴于点，直线
交直线
于点
，

①若点坐标为
，求弦
的长；

②求证：
为定值．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，函数
．

⑴当
时，函数
的图象与函数
的图象有公共点，求实数
的最大值；

⑵当
时，试判断函数
的图象与函数
的图象的公共点的个数；

⑶函数
的图象能否恒在函数
的图象的上方？若能，求出
的取值范围；若不能，请说明理由．

2014年6月高二期末调研测试

文 科 数 学 试 题 参 考 答 案

一、填空题：

1．
　 2．
3．
4．充分不必要

5．e 6．
7．（3,1） 8．

9．
10．
11．
12．②③④

13．
14．

二、解答题：

15⑴因为命题
，

令
，根据题意，只要
时，
即可， ……4分

也就是
； ……7分

⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，
，

命题q为真命题时，
，解得
……11分

因为命题
为真命题，命题
为假命题，所以命题p与命题q一真一假，

当命题p为真，命题q为假时，
，

当命题p为假，命题q为真时，
，

综上：
或
． ……14分

16⑴由条件可知，
， ……4分

则由
为所求对称轴方程； ……7分

⑵
，

因为
，所以
，

，因为
，所以
……11分

． ……14分

17⑴由
得
，由
值域为
得
， ……4分

，
，
；……7分

⑵因为偶函数，
，又
，所以
， ……11分

因为
，不妨设
，则
，又
，所以
，

，则
． …14分

18⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4；

，

因为
……5分

代入点B（-1，4），

，

又
； ……8分

⑵由⑴可知：

，得点C
即
，

取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以
，

即
，则圆弧段
造价预算为
万元，

中，
，则直线段CD造价预算为
万元

所以步行道造价预算
，
． ……13分

由
得当
时，
，

当
时，
，即
在
上单调递增；

当
时，
，即
在
上单调递减

所以
在
时取极大值，也即造价预算最大值为（
）万元．……16分

19．
，直线
， ……2分

⑴设
：
，
则
，所以
：
； ……5分

⑵①
：
，圆心到直线
的距离
，

所以弦
的长为
；（或由等边三角形
亦可） ……9分

②解法一：设直线
的方程为：
存在，
，则

由
，得
，所以
或
，

将
代入直线
，得
，即
，……12分

则
，
：
，
，

得
，所以
为定值． ……16分

解法二：设
，则
，直线
，

则
，
，直线
，又

与
交点
，

将
，代入得
， ……13分

所以
，

得
为定值．……16分

20⑴
,

由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时
取最大值， ……1分

设切点横坐标为
，
，

, 即实数
的最大值为
； ……4分

⑵
，

即原题等价于直线
与函数
的图象的公共点的个数， ……5分

，

在
递增且
，
在
递减且
，

时，无公共点，

时，有一个公共点，

时，有两个公共点； ……9分

⑶函数
的图象恒在函数
的图象的上方，

即
在
时恒成立， ……10分

①
时
图象开口向下，即
在
时不可能恒成立，

②
时
，由⑴可得
，

时
恒成立，
时
不成立，

③
时，

若
则
，由⑵可得
无最小值，故
不可能恒成立，

若
则
，故
恒成立，

若
则
，故
恒成立， ……15分

综上，
或
时

函数
的图象恒在函数
的图象的上方． ……16分