长春市十一高中2013-2014年高二下学期期末考试

数学试题（理）

一、选择题 （每小题5分，共60分）

1.设全集
，集合
，
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
，则
（ ）

A.
　　 　B.
C.
D.

3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

4.设某大学的女生体重（单位：
）与身高（单位：
）具有线性相关关系，根据一组样本数据
（
），用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论中不正确的是（ ）

A.与具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心

C.若该大学某女生身高增加
，则其体重约增加

D.若该大学某女生身高为
，则可断定其体重为

5.设
的内角
所对边的长分别为
，若
，
，则角
（　　）

A.
B.
C.
D.

6．设点
是线段
的中点，点在直线
外，
，
，则
（ ）

A．8 B．4 C．2 D．1

7.下列命题中，真命题的个数有（ ）

①
； ②
；

③“
”是“
”的充要条件； ④
是奇函数.

A. 1个　 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8．若，
R，且
，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A．
B．

C．
D．

在矩形
中，
，如果在该矩形内随机取一点，那么使得
与
的面积都不小于的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

数列
的首项为1，数列
为等比数列且
，若
，

则
（ ）

A. 20 B. 512 C. 1013 D. 1024

11．在椭圆
上有两个动点
.
为定点，
,则
的最小值为(　　)

A．6 B．
C．9 D．

12. 已知函数
的两个极值点分别为
，且
，点
表示的平面区域为，若函数
的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.对任意实数，有
,

则
的值为 .

14. 直线
被曲线
所截得的弦长为______．

15.将
排成一排，要求在排列中，顺序为“
”或“
”（可以不相邻），这样的排法有 种．

定义在
上的函数
满足：①当
时，
；②
.设关于的函数
的零点从小到大依次为
.若
，则
_______.

（用表示）

三．解答题（本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤）

17.（满分12分）在
中，角
所对的边分别为
，已知
，

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围.

18．（满分12分）如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，且
，
,
，点
分别为
、
、
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

（满分12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次任意抽取3道题，独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中的2题就停止答题，即闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是
．

（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

（Ⅱ）设甲答对题目的个数为
，求
的分布列及数学期望．

20．（满分12分）设
分别是椭圆
的左，右焦点，

（Ⅰ）若是椭圆在第一象限上一点，且
,求点坐标；

（Ⅱ）设过定点（0，2）的直线
与椭圆交于不同两点
,且
为锐角（其中为原点），求直线
的斜率
的取值范围.

21．（满分12分）设函数
，
，其导函数为
；

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，
，求证：
.

（22题、23题、24题中任选一个作答）

22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲

如图所示，
是⊙
直径，弦
的延长线交于，
垂直于
的延长

线于.

求证：(1)
；

（2）
.

(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为轴正半轴，直线
的参数

方程为
，曲线
的极坐标方程为

（1）写出
的直角坐标方程，并说明
是什么曲线？

（2）设直线
与曲线
相交于
两点，求
.

24.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
；

（2）求函数
的最小值.

长春市十一高中2013-2014年高二下学期数学

期末考试（理）答案

选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

D

A

C

C

D

A

D

A

B



填空题（每题5分，共20分）

13、
14、
15、40种 16、

解答题

17（Ⅰ）由已知条件结合正弦定理有：
，从而：

，

（Ⅱ）由正弦定理得：
，

即：

18.（1）证明：连接
，
是
的中点 ，
过点，

为
的中点，
，

又
面
，
面
，
平面
；

（2）在直角
中，
，
，
，

棱柱
的侧棱与底面垂直，且
，以点
为原点，以
所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，
，
，
，
，

，
，

，
；

（3）依题意得
，
，
，
，
，
，
，

设面
的一个法向量为
，

由
，得
，令
，得
，

同理可得面
的一个法向量为
，

故二面角的平面角
的余弦值为
，

19.解：（1）设甲、乙闯关成功分别为A、B。

则
,
．

所以，甲乙至少有1人闯关成功的概率为

（2）由题意，

,

1

2












的分布列为

20．解：（1）
；（2）

解：（1）当
时，
，

令
，即：
，

解得：
，所以：函数