长春市十一高中2013-2014年高二下学期期末考试

数学试题（文）

一、选择题 （每小题5分，共60分）

1.设全集
,集合
，
，则
= ( )

A.
B.
C.
D.

2.已知
，则
=(　　)

A.
B.
C.
D.

3.某市有高中生30000人，其中女生4000人，为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中女生的数量为（ ）

A.30 B. 25 C. 20 D. 15

4．在
中，内角
的对边分别为
，若
，
，
,则这样的三角形有（ ）

A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个

5．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．设点
是线段
的中点，点在直线
外，
，
,则
=( )

A．8 B．4 C．2 D．1

7．已知数列
中，
，
，若
为等差数列，则
=( )

A．0 B．
C．
D．2

8．若，
R，且
，则下列不等式中恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.若函数
，则 ( )

A．最大值为1，最小值为
B．最大值为1，无最小值

C．最小值为
，无最大值 D．既无最大值也无最小值

10．在椭圆
上有两个动点
.
为定点，
,则
的最小值为(　　)

A．6 B．
C．9 D．

11．边长为的正方形
沿对角线
折成
的二面角，则
的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知抛物线
的焦点为双曲线
的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为(　　)

A．
B．1+
C．
D．1+

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知
∈R，有以下命题：①若
，则
；②若
，则
；

③若
，则
.则正确命题序号为 。

14. 直线
被曲线
所截得的弦长为______．

15. 两枚质地均匀的骰子同时掷一次，则向上的点数之和不小于7的概率为 ．

16．若
在区间
上是增函数，则的范围是 ．（用区间来表示）

三．解答题（本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤）

17．在
中，、
、分别为内角
的对边，且

求的大小；(5分）

若
，判断
的形状.(7分）

18．如图，在直三棱柱
中，

，

分别为
的中点。

（1）求证：
∥平面
；（5分）

（2）求三棱锥
的体积.(7分）

19．某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

同意

不同意

合计



教师

1







女学生



4





男学生



2





（1）完成此统计表；（2分）

（2）估计高三年级学生“同意”的人数；（4分）

（3）从被调查的女学生中选取2人进行访谈，求选到两名学生中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率．（6分）

20．设
分别是椭圆
的左，右焦点.

（1）若是椭圆在第一象限上一点，且
,求点坐标；(5分）

（2）设过定点（0，2）的直线
与椭圆交于不同两点
,且
为锐角（其中
为原点），求直线
的斜率
的取值范围.（7分）

21．设函数

．

（1）求
的单调区间；（4分）

（2）求所有实数，使
对
恒成立.

注：为自然对数的底数（8分）（22题、23题、24题中任选一个作答）

22.(本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲

如图所示，
是⊙
直径，弦
的延长线交于，
垂直于
的延长

线于.

求证：(1)
；

（2）
.

(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为轴正半轴，直线
的参数

方程为
，曲线
的极坐标方程为

（1）写出
的直角坐标方程，并说明
是什么曲线？

（2）设直线
与曲线
相交于
两点，求
.

24.(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
；

（2）求函数
的最小值.

长春市十一高中2013-2014年高二下学期期末考试

数学试题（文）答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

C

B

A

C

A

D

D

A

D

B



填空题

13、②③ 14、
15、
16、

解答题

17（1）
；（2）顶角为钝角的等腰三角形

解：（1）由正弦定理得

即
∴

∴

（2）由（1）知
，∴

∴

∴

∴
是等腰三角形

18（1）略（2）12

解：（1）取BC边中点F ，连EF、FA,

则
∥
∥
且

四边形EFAD是平行四边形，∴
∥

且

∴
∥平面

（2）等腰三角形ABC中，易知
⊥

又
⊥
∴
⊥面

由（1）
∥

又
,

同意

不同意

合计



教师

1

1

2



女学生

2

4

6



男学生

3

2

5



19解（1）

2

2分

（2）
人 4分

（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的编号为3，4，5，6

选出两人共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种结果，

其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共8种结果满足题意。每个结果出现的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为
12分

20．解：（1）
；

（2）

（1）由已知

设
，

2分

4分

即

∴
5分

（2）直线
的方程为：

联立
7分

为锐角等价于

设

，综上
11分

或

21.解：（1）增区间为
，减区间为
. 4分

（2）由题意得
，即
6分

由（1）知
在
内单调递增，

要使
在
上恒成立

只要
10分

解得
12分

22、（1）连AD，∵AB是圆O的直径，∴
则A、D、E、F四点共圆，

∴
5分

（2）由（1）知
,又
≌
∴

即

∴

即
5分

23．（1）
圆 5分（2）
5分

24、（1）
5分（2）
5分