2014年春期南阳市期末质量检测

高二数学（理科）答案

一、选择题（共12个小题，每小题5分）

1—5 BADCA 6—10 BBDDC 11—12 DA

二、填空题（共4小题，每题5分）

13.
14.
15.
16. ①③

三、解答题

17. 解：（1）

是实数时，m=5.……………………………………（5分）

（2）

，
；当
时，
……………………………………（10分）

18. 解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的概率为
，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率为
………………（6分）

(2)

非常了解

一般了解

合计



男生

30

20

50



女生

25

25

50



合计

55

45

100



根据列表数据得

，

所以，没有75%的把握人物对莫言作品的了解程度与性别有关.…………（12分）

19. 解：假设存在一次函数
，使得

对
的一切自然数都成立，则当n=2时有，
，又
即
……①.

当n=3时有，
，又

，即
……②，

由①②可得
，所以猜想：
，…………………………（5分）

下面用数学归纳法加以证明：

（1）当n=2时，已经得到证明；……………………………………（6分）

（2）假设当n=k（
）时，结论成立，即存在
，使得

对
的一切自然数都成立，则

当
时，

，……………………（8分）

又
，
，

，

当
时，命题成立.………………………………………………（11分）

由（1）（2）知，对一切n，（
）有
，使得

都成立.…………………………（12分）

20. 解：（1）
，依题意有：
，即

解得：

检验：当
时，

此时：函数
在
上单调递减，在
上单调递增，满足在
时取得极值

综上：
……………………………………（6分）（2）依题意：
对任意
恒成立等价转化为
在
恒成立的必要条件是
，即
，所以
………………（8分）

因为
令
得：
，
…………………………………………（10分）

，此时，函数
在
恒成立，则
在
单调递增，于是
，解得：
，此时：
综上所述：实数的取值范围是
…………………………………………………（12分）.

21. 解：（1）设“选出的3种商品中至少有一种是日用类商品”为事件A，则

方法一：
;

方法二：
.

即选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率为
.……………………（6分）

（2）
的可能取值为
，

则
，

，

，

，

的分布列为

0









P











故
（元）

根据题意，得
，解得
，

即至多为120元时，此促销方案使商场不会亏本。…………………………（12分）

22. 解：（Ⅰ）因为
，所以
……………………（2分）

因为函数
的图像在点
处的切线斜率为3，

所以，
，即
，

所以，
.……………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

所以，
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立.……（5分）

令
，则
…………………………………………（6分）

令
，则
，

所以函数
在
上单调递增……………………………………………………（8分）

所以
，可得

故函数
在
上单调递增.

所以
……………（11分）

故整数
的最大值是3.………………………………………………………………（12分）