2013-2014学年度第二学期高二期末考试 理科数学期末试题卷

2014年6月12日

命 题 人：郑 忠 榆

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足
，则z的虚部为

A．
B．
C．
D．

2．若
,则
的解集为 ( )

A. (0,
) B. (-1,0) (2,
)

C. (2,
) D. (-1,0)

3． 函数
的最小正周期为

A．
B． C．
D．

4．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：

月份

1

2

3

4

5



广告投入（x万元）

9.5

9.3

9.1

8.9

9.7



利润（y万元）

92

89

89

87

93



由此所得回归方程为
，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ）

A．95.25万元 B．96.5万元 C．97万元 D．97.25万元

5．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其

直观图和三视图如图所示，正视图为正方

形，其中俯视图中椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

6．在区间[-3，3]上任取两数x，y，使
成立的概率为

A．
B．
C ．
D．

7．在平面直角坐标系中，不等式
表示的平面区域的面积是

A．8 B．4 C．
D．

8．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为
，则
的均值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，．共30分．

（一）必做题（9～13题）

9．
▲ 。

10．函数
若不等式f（x）≥6的解集

为（—∞，-2]
[4，+∞），则实数a的值为 ▲ ．

11．二项式
的展开式中
的系数为　　▲　 　。

12． 7颗颜色不同的珠子，可穿成 ▲ 种不同的珠子圈。

13．已知：长方体
，
，
为对角线
的中点，过
的直线与长方体表面交于两点
，为长方体表面上的动点，则
的取值范围是　　▲　 　．

（二）选做题（14~15题，只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆
的直径
，

为圆周上一点，
，过
作圆
的切线
，则点到

直线
的距离
_____▲_____.

15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆
：
的圆心到直线

的距离是_____▲__________.

三、解答题（本大题共6小题，第16、17题各12分，第18、19、20、22题各14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16、为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株为样本，统计结果如下：

高茎

矮茎

合计



圆粒

11

19

30



皱粒

13

7

20



合计

24

26

50



(1)现采用分层抽样方法，从这个样本中取出10株玉米，再从这10株玉米中随机选出3株，求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率；

(2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考)：

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828




，其中n=a+b+c+d为样本容量. (本小题满分12分)

17．一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知
．

（Ⅰ）求袋中白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列及其数学期望． （本小题满分12分）

18、数列{an}中，an>0，an≠1，且
(n∈N*).

(1)证明：an≠an+1；

(2)若
，计算a2，a3，a4的值，并求出数列{an}的通项公式. (本小题满分14分)

19．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，四边形
是正方形，
，
，
分别为
的中点.

（Ⅰ）求证:平面
平面
;

（Ⅱ）求二面角
的平面角的大小.

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的左焦点
，离心率为
，函数

，

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）设
，
，过的直线
交椭圆
于
两点，求
的最小值，并求此时的的值．

21．（本题满分14分）

已知
，函数
（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
的最小值为，求的最小值．

2013-2014学年度第二学期高二期末考试 理科数学期末试题答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．D ； 2．C ； 3．D； 4．A；

5．C； 6．A； 7．A； 8．B；

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，．共30分．

9．
； 10．； 11．
； 12．360；

13．
； 14.
； 15.

三、解答题（本大题共6小题，第16、17题各12分，第18、19、20、22题各14分，共80分）

16、(本小题满分12分)

解：(1)现采用分层抽样的方法，从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株，皱粒的有4株，所以从中再次选出3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为
. ……6分

(2)根据已知列联表： ∴
，又P(K2≥3.841)=0.050，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关. ……12分

17. 解：（Ⅰ）设袋中有白球个，则
，

0

1

2













即
，解得
． （Ⅱ）随机变量
的分布列如下：

18、(本小题满分14分)

(1)证明：(反证法)若an=an+1，则由
(n∈N*)，得
，

得an=1，这与已知an≠1相悖，故an≠an+1. ……4分

(2)方法一：(举例-猜想-证明)

若
，由
(n∈N*)得，
，

，
，猜想：
(n∈N*)， ……8分

以下用数学归纳法证明：

①当n=1时，
，所以当n=1时命题成立； ……9分

②假设当n=k时，命题成立，即
，

则当n=k+1时，
， ……12分

所以，当n=k+1时，命题也成立，故
(n∈N*)， ……13分

由①、②可知，对所有的自然数n，都有
(n∈N*). ……14分

(说明：其它方法请相应给分)

方法二：(利用数列递推关系求通项公式)

由
(n∈N*)，取倒数得
，

又
，令2+3t=t，解得t=－1，

∴
，

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列，

∴
，∴
，∴
.

19. 解：（Ⅰ）因为
分别为
中点,所以
,

又因为
是正方形,
,所以
,所以
平面
.

因为
分别为
中点,所以
,所以
平面
.

所以平面
平面
.

（Ⅱ）法1.易知
,又
,故
平面

分别以
为轴和轴,建立空间直角坐标系(如图)

不妨设
则
,

所以

设
是平面
的法向量,则

所以
取
,即

设
是平面
的法向量,则

所以
取

设二面角
的平面角的大小为

所以
,二面角
的平面角的大小为
.

法2. 取
中点,联结
则
,又
平面
,
,所以
平面
,所以
平面
,所以
,
.

因为
,则
,所以
平面
.

又因为
,所以

所以
就是二面角
的平面角的补角.

不妨设
,则

,
,
.

所以二面角
的平面角的大小为
.

20. 解：（Ⅰ）
,由
得
,椭圆方程为

（Ⅱ）若直线
斜率不存在,则
=

若直线
斜率存在,设直线
,

由
得

所以

故
的最小值为
,此时
.

21. 解:（Ⅰ）
时,
,

当
时,

当
时,

所以
的单调减区间为
单调增区间为
.

（Ⅱ）由题意可知:
恒成立,且等号可取.

即
恒成立,且等号可取.

令
故

由
得到
,设
,

当
时,
;当
时,
.

在
上递减,
上递增.所以

当
时,
,即
,

在
上,
,
递减;

在
上,
,
递增.

所以

设
,

,
在
上递减,所以

故方程
有唯一解