长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期中考试

数 学 试 题 （理）

选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．复数满足：
（是虚数单位），则复数在复平面内位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．在极坐标系中，点
和圆
的圆心的距离为（ ）

A．
B． C．
D．

3．若
为等差数列，
是其前项和，且
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．以下四个命题中：

①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为
的

样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔
为40；

②线性回归直线方程
恒过样本中心
，且至少过一个样本点；

③在某项测量中，测量结果
~
，若
在
内取值的概率为
，则
在
内取值的概率为
.其中真命题的个数为（ ）

A．
B． C． D．

5．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是（ ）

A.
B.

C.
D.

6．已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

A．
B．

C．
或
D．
或7

7．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各

发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为
，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．观察下列各式：
，
，
，
，
，

，则
（ ）

A．28 B．
C．
D．

9．由直线
及曲线
所围成的封闭的图形的面积为（ ）

A． B．
C．
D．

10．若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过
， 则
可以是（ ）

A．
B．

C．
D．

11.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）

A.
B.
C.
D.

12.函数
的图像与函数

的图像所有交点的纵坐标之和等于（ ）

A． B． C．
D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在极坐标系中，定点
，点在直线
上运动，则点和点间的最短距离为____________．

14．
展开式中的常数项是 ．

15．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 468），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第
个数为________．

16．将一列有规律的正整数排成一个三角形数阵(如图)：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）为了解某班关注NBA（美国职业篮球）是否与性别有关，对某班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：

关注NBA

不关注NBA

合计



男生



6





女生

10







合计





48



已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA的学生的概率为
.

（1）请将上面的表补充完整（不用写计算过程），并判断是否有95%的把握认为关注NBA与性别有关？说明你的理由；

（2）设甲，乙是不关注NBA的6名男生中的两人，丙，丁，戊是关注NBA的10名女生中的3人，从这5人中选取2人进行调查，求：甲，乙至少有一人被选中的概率.

答题参考

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.010

0.005



k0

2.706

3.841

6.635

7.879





18．（本小题满分12分）已知
中，
是三个内角
的对边，关于的不等式

的解集是空集．

（1）求角
的最大值；

（2）若
，
的面积
，求当角
取最大值时，
的值．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
平面
，
，

，是
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角

的余弦值.

20．（本小题满分12分）某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．

(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；

(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天都不通过检查的得0分，两天中只通过一天检查的得1分，两天都通过检查的得2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．

21．（本小题满分12分）已知椭圆
过点
，且离心率为
.斜率为的直线
与椭圆
交于
两点，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的面积．

22.（本小题满分12分）已知函数
在
上为增函数，
，

（1）求
的值；

（2）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（3）若在
上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围.

长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期中考试

数 学 试 题 （理）答 案

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

D

C

D

B

A

D

C

B



二、填空题（每题5分，共20分）

13.
14. 80 15.
16.

三、解答题(本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)

17．（1）有95%把握认为关注NBA与性别有关.(2)至少有一人不关注NBA的被选取的概率为
.

【解析】

试题解析：（1）列联表补充如下：

关注NBA

不关注NBA

合计



男生

22

6

28



女生

10

10

20



合计

32

16

48



 （2分）

由公式

（4分）

因为4.286>3.841.故有95%把握认为关注NBA与性别有关. (5分)

(2)从5人中选2人的基本事件有：
,共10种，其中甲、乙至少有一人被选中有
：共7种， 故所求的概率为
(10分)

18.（12分）

解：（1）∵
的解集为空集，故
，

（3分）

得
≥
（4分）

又
，
的最大值为
（6分）

（2）
（8分）

∴
，
（10分）

即
（12分）

【解析】(1)
平面
，
平面
，

由已知条件得：
，
，所以
平面
（5分）

由（1）结合已知条件以点为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，则：

，
，
，
，
，所以

7分

设
是平面
的一个法向量，则
，

即：
，取
，则得：

同理可求：平面
的一个法向量
10分

设：平面
和平面
成角为
，

则
12分

20．【解析】(1)设李师傅产品第一天通过检查为事件A；第二天产品通过检查为事件B.

则有
，P(B)＝
＝
， （4分）

由事件A、B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝
. （6分）

答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为
.

(2)记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2. （7分）

∵P(ξ＝0)＝
×
＝
； （8分 P(ξ＝1)＝
×
＋
×
＝
； （9分）

P(ξ＝2)＝
×
＝
. （ 10分）

∴E(ξ)＝0×
＋1×
＋2×
＝
. （12分）

试题解析：（1）由已知得
. （ 2分）

解得
.又
，所以椭圆G的方程为
. （4分)

（2）设直线l的方程为
.

由
得