体验 探究 合作 展示

长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期中考试

数 学 试 题 （文）

选择题（每题5分，共60分）

1．设复数的共轭复数
满足(1＋)
＝2，其中为虚数单位，则等于（ ）

.
.

.
.

观察下列各式：
，
，
，
，
，

…，则
（ ）

.
.

.
.

在极坐标系中，圆
的圆心的极坐标为（ ）

.
.

.
.

有以下四种变换方式：

① 向左平移
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
;

② 向右平移
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
;

③ 每个点的横坐标缩短为原来的
，向右平移
个单位长度;

④ 每个点的横坐标缩短为原来的
，向左平移
个单位长度;

其中能将
的图像变换成函数
的图像的是（ ）

.①和③ .①和④
.②和④ .②和③

已知∈
，sin＝
，则tan 2＝（ ）

.
.

.－
.－

6．在△
中，角
的对边分别为
，若
，则

.
.

.
.

已知双曲线

的一个焦点与抛物线
的焦点

重合，且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为（ ）

.
.

.
.

8．已知直线
平面，直线平面
，给出下列命题,其中正确的是（ ）

①
②

③
④

.②④ .②③④
.①③ .①②③

已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于两点，
，

则
（ ）

.
.

.
.

10．设等比数列
中,前n项和为
,已知
=8,
=7,则
等于（ ）

.
.-

.
.

如图，在棱长为的正方体
中,为
的中点,
为
上

任意一点,
为
上两点,且
的长为定值,则下面四个值中不是定值的是

.点到平面
的距离

.直线
与平面
所成的角

.三棱锥
的体积

.

的面积

已知函数
，若函数
在上有两个不同零点，则的取

值范围是

.
.

.
.

填空题（每题5分，共20分）

13．已知复数
（是虚数单位），则
．

14．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形

将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰

有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面

积是 ．

在极坐标系中，已知两点
的极坐标为
,则
（其中
为

极点）的面积为 ．

若函数
是定义在上的偶函数，且在区间
上是单调增函数.如果实数

满足
，则的取值范围是 .

解答题(本大题满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)

17. （本题满分10分）某电视台在一次对文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关数据如下表所示：

文艺节目

新闻节目

总计



20岁到40岁

40

20

60



40岁以上

15

25

40



总计

55

45

100



（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中，随机抽取9名，那么40岁以上的观众应抽取几名？

（2）由表中数据分析，我们能否有99%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关？（最后结果保留3位有效数字，四舍五入）

附：

0.05

0.01

0.005

0.001





3.841

6.635

7.879

10.828





18. （本题满分12分）在△
中，角、、
的对边分别为、
、，且
.

（1）求
；

（2）若
，且
=
，求和的值.

19. （本题满分12分）设函数
.

（1）求
的最小正周期；

（2）若函数
的图像向右、向上分别平移
个单位长度得到
的图像，求
在
的最大值.

20. （本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组得到的频率分布表如下左图所示，

班号

分组

频数

频率



第1组



5

0.050



第2组



①

0.350



第3组



30

②



第4组



20

0.200



第5组



10

0.100



合计

100

1.00





请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率

分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的

面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

21. （本题满分12分）设函数

（1）求
的单调增区间；

（2）
时，函数
有三个互不相同的零点，求实数
的取值范围.

22. （本题满分12分）已知椭圆
的离心率
，
分别为椭圆的长轴和短轴的端点，
为
中点，
为坐标原点，且
.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点
的直线
交椭圆于
两点，求
面积最大时，直线
的

方程.

体验 探究 合作 展示

长春市十一高中2013-2014学年度高二下学期期中考试

数 学 试 题 （文）答 案

一、选择题（每题5分，共60分）

号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

B

D

C

B

C

C

C

B

D





二、填空题（每题5分，共20分）

13.
14. 9 15. 3 16. ．

三、解答题(本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)

17.（10分）

解：（1）因为收看新闻节目的观众中，两个年龄段的人数之比为20：25=4：5，且共抽取9名，所以用分层抽样方法抽取，在40岁以上的观众中应抽取5名……………5分

（2）

∵8.24＞6.635………………………………………………………………………8分

∴我们有99%的把握认为收看新闻节目的观众与性别有关。…………………10分

18.（12分）

解：（1）由

得
…………………………………2分

即
，亦即

∴
…………………………………………………………………………6分

（2）由
得
∴
………………………………8分

∵

∴
………………………………………………………………10分

由
得
…………………………………………………12分

19（12分）

解：(1)

或
…………2分

∴
的最小正周期为

（2）由题
…8分

∵
∴

∴
………………………………………………………10分

∴
的最大值为
……………………………………………12分

20.（12分）

解：（1）①应为100×0.35=35

②应为

(2)∵第3、4、5组人数之比为30：20：10=3：2：1，且共抽取6人，

∴第3、4、5组中分别抽取3人，2人，1人，进入第二轮面试。

（3）设这6人分别为

设第4组至少有一名学生被A面试为事件

所有基本事件为

∴共有15个基本事件

事件
包含9个基本事件，每个基本时间被抽中是等可能的

∴

21. （12分）

解：（1）
…………………………………………………2分

令
，得

∴增区间
…………………………………………………5分

（2）当
时，

当变化时，
变化如下表：















＋

0

－

0

＋





单调递增↗



单调递减↘



单调递增↗



……………8分

∴当
时，
取极大值
……………………………………9分

∴当
时，
取极小值
…………………………………10分

∵
有三个互不相同的零点∴
……………………………………11分

∴

∴
………………………………………………………………………12分

22. （12分）

解：（1）∵
∴
①……………………………………………………2分

∴
②，

∴由①②得

∴椭圆的方程为
…………………………………………