一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知i是虚数单位，a∈R．若复数
的虚部为1，则a ＝ （ ）

A．
B． C． D．

2. 函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是

(　　)

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1]∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,1]

3. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 (　　)

A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件

4. 已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝ 　　　 　　　　　　 (　　)

A．2n　　　　　　

B．n2

C．3n

D．nn

5.　已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点(　　)

A．(0,0) B．(2,1.8) C．(3,2.5) D．(4,3.2)

x

1

2

3

4

5



y

1.2

1.8

2.5

3.2

3.8





6．观察下列各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是 (　　)

A．①② B．①④

C．③④ D．②③

7. 设
在
上是单调递增函数，当
时，
，且
，则（ ）

A．
　　 B．

C．
　 D．

8. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数
在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x) 在开区间(a，b)内有极小值点 (　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9. 已知函数
R)，则下列错误的是（ ）

A．若
，则
在R上单调递减 B．若
在R上单调递减，则

C．若
，则
在R上只有1个零点 D．若
在R上只有1个零点，则

10. 已知a为常数，函数
有两个极值点
，且
，则（ ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上。.

11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收

入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共是_________．

12. 函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．

13. 复数满足
，则的共轭复数
__________

14. 已知正弦函数可以展开为
，类似地，余弦函数可以展开为
的形式，则

15. 函数
在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是____．

16. 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，则该箱子的最大容积是

17. 已知
各项均为正数的数列{
}，满足
，
，若
，则

三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本小题满分12分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

19. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，b∈R)的导函数
的图象过原点．

(1) 当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；

(2) 若存在x＜0，使得
＝－9，求a的最大值．

20. （本小题满分13分）

设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．

21. （本小题满分14分）

设函数
有两个极值点
，且
，则：

求实数a的范围；(II)求
的范围

22. （本小题满分14分）

已知
称为x，y的二维平方平均数，
称为x，y的二维算术平均数，
称为x，y的二维几何平均数，
称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数。

试判断
与
的大小，并证明你的猜想。

令
，
，试判断M与N的大小，并证明你的猜想。

令
，
，
，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想。

三、解答题: 本大题共5小题，共65分．

18.解：解 (1)选择②式计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°·cos 15°＝1－sin 30°＝. 。。。。。。。。。。。。。3’

(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：

法一　sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋sinαcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.

法二　sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α

＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)

＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 。。。。。。。。。。。。。12’

19.解：由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b.

由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)．

(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，

f′(3)＝3.

所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，

即3x－y－8＝0. 。。。。。。。。。。。。。6’

(2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7.

所以a的最大值为－7. 。。。。。。。。。。。。。12’

20.解： f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝.同理f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.。。。。。。。。。。。。。4’

由此猜想：当x1＋x2＝1时，

f(x1)＋f(x2)＝.证明：设x1＋x2＝1，则

f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝

＝＝＝.故猜想成立．。。。。13’

21.解：

。。。。。。。。。。。。。14’

22.解：解：（I）
，采用分析法。欲证
，即证
，即证
，即证
，上式显然成立。 。。。。。。。。。。。。。3’

（II）
。欲证
，即证
，由均值不等式可得：

，等号成立的条件是
，所以原命题成立。。。。。。。。。。。。。。6’

（III）
。首先证明
：欲证
，即证
，即证
，即证
，即证
，即证
，上式显然成立，等号成立的条件是
，故
.

再证
：欲证
，即证
，即证
，当
时，上式显然成立，当
时，即证
，而此式子在证明
已经成功证明，所以原命题成立。。。。。。。。。。。。。。14’

注释：本例主要考察学生由特殊到一般的推理思维，并且考察了分析法，本题也可以用导数的方法证明，只要合理，均可得分！

二〇一四年高二下学期期中考试

数学（理）参考答案

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

A

B

B

B

C

D

B

D





二、填空题: 本大题共5小题,每小题5分,共25分.

题号

11

12

13

14

15



答案

30

b

ln2

0.6







三、解答题: 本大题共6小题，共75分．

16.解：（1）由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b.

由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)．

(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，

f′(3)＝3.

所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，

即3x－y－8＝0. 。。。。。。。。。。。。。6’

(2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，

－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7.

所以a的最大值为－7. 。。。。。。。。。。。。。12’

17.解：(1)P(4,1)＝C()3＝，P(4,2)＝C()3＝，

猜想P(n，m)＝C ()n－1； 。。。。。。。。。。。。。6’

ξ

3

2

1



P









 (2)ξ＝3,2,1，P(ξ＝3)＝P(6,1)＋P(6,6)＝，P(ξ＝2)＝P(6,2)＋P(6,5)＝C()5＝，

P(ξ＝1)＝P(6,3)＋P(6,4)＝

Eξ＝3＋2＋1＝.

。。。。。。。。。。。。。12’

18.解：设箱底边长为
，则无盖的方底箱子的高为

，其体积为
，

则
。。。。。。。。。。。。。4’

，令
，得
，

解得
（
已舍去）且仅当
时，
；当
时，
.所以函

数
在
时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数
的最大值.

，故当箱底边长为
时，箱子容积最大，最大容积是
. 。。。。。。。。。。。。。12’

19.解：（Ⅰ）中位数
cm. 。。。。。。。。。。。。。3’

（II）依题意，X的取值为
．则
，
，

．因此，X的分布列如下：

X









P










． 。。。。。。。。。。。。。12’

20.解：（１）易知直线AB的斜率存在，设AB直线方程为

代入抛物线方程
得，
（*）

设
因为M是AB的中点，所以
，即

方程（*）即为：
（**）

由
得

所以的取值范围是
； ．．．．．．4’

（2）常数
存在且

不妨设

由方程（**）得
，

代入上式化简得
。。。。。。。。。。。。。8’

因为
轴，

所以|MC|=
，

由方程（**）得

所以
=
＝
=