一.选择题.(每小题5分,共50分)

1.设为虚数单位,则
=( )

A.2 B.
C.
D.

2.(原创)设
.则下列不等式一定成立的是( )

A.
B.
C.
D.

3.(原创)某人将英语单词“apple”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( )

A.60 B.59 C.58 D.57

4.若一几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形,且其体积为
.则该几何体的俯视图可以是( )

5.(原创)设
,其中
.那么“
”是“
”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

6.已知双曲线
的一条渐近线方程为
,则双曲线离心率=( )

A.
B.
C.
D.

7.若曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则
( )

A.64 B.32 C.16 D.8

8.设点
为椭圆
上两点.点关于轴对称点为 (异于点).若直线
分别与轴交于点
, 则
=( )

A.0 B.1 C.
D.2

9.若
.则
( )

A.20 B.19 C.
D.

10.(原创)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )

A.4320 B.2880

C.1440 D.720

二.填空题.(每小题5分,共25分)

11.设随机变量
,则
.

12.已知正态分布密度曲线
,且
,则方差为 .

13.在
展开式中,常数项等于 .

14.(原创)一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为
,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 .

15.若
.则
的最大值是 .

三.解答题.(共75分)

16.(13分)已知
.

(1)求不等式
的解集A;

(2)若不等式
对任何
恒成立,求的取值范围.

17.(13分)已知函数
的图象在点
处的切线垂直于轴.

(1)求实数的值;

(2)求
的极值.

18.(原创)(13分)某电视台“挑战60秒”活动规定上台演唱:

(I)连续达到60秒可转动转盘(转盘为八等分圆盘)一次进行抽奖,达到90秒可转两次,达到120秒可转三次(奖金累加).

(II)转盘指针落在I、II、III区依次为一等奖(500元)、二等奖(200元)、三等奖(100元),落在其它区域不奖励.

(III)演唱时间从开始到三位评委中至少1人呜啰为止,现有一演唱者演唱时间为100秒.

(1)求此人中一等奖的概率;

(2)设此人所得奖金为
,求
的分布列及数学期望
.

19.(12分)如图,四棱柱
中,
.
为平行四边形,
,
,
分别是
与
的中点.

(1)求证:
;

(2)求二面角
的平面角的余弦值.

20.(12分)已知抛物线
的焦点到准线的距离为
.过点

作直线
交抛物线
与
两点(在第一象限内).

(1)若与焦点重合,且
.求直线
的方程;

(2)设
关于轴的对称点为
.直线
交轴于. 且
.求点到直线
的距离的取值范围.

21.(原创)(12分)给定数列

(1)判断
是否为有理数,证明你的结论;

(2)是否存在常数
.使
对
都成立? 若存在,找出
的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.

命题人:梁显定

审题人:李 华

2014年重庆一中高2015级高二下期半期考试（本部）

数 学 答 案（理科）2014.5

19.(12分)解:(1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE为正△

在△CDE中,由余弦定理可求CE=
.

又
.由每股定理逆定理知CE⊥DE

又DD1⊥平面ABCD, CE平面ABCD. ∴CE⊥DD1

∴CE⊥平面DD1E, 又DF平面DD1E. ∴CE⊥DF.

(2)以直线AB, AA1分别为轴,轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0),

D1(
), C

可求平面AEF的一个法向量为

平面CEF的一个法向量为

∴平面角
满足

又
为纯角 ∴

注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.

21.(12分)解:(1)
是无理数, 若不然,设
.

则
即
必为有理数,这与
是无理数矛盾.

(2)设

则
.

于是

令
.

则
.

从而可取
(或
等).则对
,

均有
成立.