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重庆一中2013-2014学年高二下学期期末考试 数学文

满分150分。考试时间120分钟。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“对任意
，总有
”的否定是

A. “对任意
，总有
” B. “对任意
，总有
”

C. “存在
，使得
” D. “存在
，使得
”

2.请仔细观察，运用合情推理，写在下面括号里的数最可能的是

1,1,2,3,5，（ ），13

A．8 B.9 C.10 D.11

3.某高二年级有文科学生500人，理科学生1500人，为了解学生对数学的喜欢程度，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，则样本中文科生有（ ）人

A.10 B.15 C.20 D.25

4.下列关于不等式的说法正确的是

A若
，则
B.若
，则

C.若
，则
D. .若
，则

5.已知
则
=

A.1 B.2 C.3 D.4

6.执行如下图所示的程序框图，则输出的



A.4 B.5 C.6 D.7

7. 设实数
满足
，目标函数
的最大值为

A.1 B.3 C.5 D.7

8.（原创）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为



A. B. C. D.

9.（原创）设Q是曲线T：
上任意一点，
是曲线T在点Q处的切线，且
交坐标轴于A,B两点，则
OAB的面积（O为坐标原点）

A. 为定值2 B.最小值为3 C.最大值为4 D. 与点Q的位置有关

10. (原创)已知函数
若关于
的方程
有且只有一个实根，则实数
的取值范围是

A.
或
B.

C.
D .

二.填空题: 本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.

11.已知集合
，则
= .

12.复数
满足
（其中
为虚数单位)，则
= .

13.
.

14. 设
，若函数
（
）是奇函数，则
= .

15. 已知圆O：
，直线
：
，若圆O上恰好有两不同的点到直线
的距离为1，则实数
的取值范围是 .

三．解答题: 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题13分（1）小问6分，（2）小问7分）

已知函数
，且

（1）求实数
的值；

（2）若函数
，求
的最小值并指出此时
的取值.

17. （本小题13分（1）小问7分，（2）小问6分）

已知函数

（1）求
的最大值；

（2）若
，且
，求
的值.

18 .(原创)（本小题12分（1）小问6分，（2）小问7分）

所有棱长均为1的四棱柱
如下图所示，
.

（1）证明：平面
平面
；

（2）当
为多大时，四棱锥
的体积最大，并求出该最大值.

19.（原创）（本小题12分（1）小问6分，（2）小问6分）

某幼儿园小班的美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支.

牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问两个气球同为冷色的概率是多大？

一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟.牛牛至少需要2分钟完成该项任务.老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大？

20. (本小题12分（1）小问5分，（2）小问7分)

已知函数
.

（1）若
，讨论
的单调性；

（2）若对
，总有
，求实数
的取值范围.

21.(本小题12分（1）小问5分，（2）小问7分)

M是椭圆T：
上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知
的最大值为
，最小值为
.

求椭圆T的标准方程；

求
的面积的最大值
.若点N
满足
，称点N为格点.问椭圆T内部是否存在格点G，使得
的面积
？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：点
在椭圆T内部
).

命题人：周波涛

审题人：张志华

2014年重庆一中高2015级高二下期期末考试

数 学 答 案（文科）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

C

B

B

B

D

A

C





二.填空题: 本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.

11.
12.
13. 5 14. 0 15.

三．解答题: 本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.解答：（1）由题有
， …………4分

解之得
…………6分

（2）由（1）知
…………8分

因为
，则
…………10分

（当且仅当
即
时取得等号） …………12分

故
的最小值的为5，此时
…………13分

17. 解答：

…………4分

…………6分

（1）因为
，最大值为2； …………7分

（2）因为
，故
…………8分

由
得
，

则
…………10分

则
…………13分

18 .解答：(1)由题知，棱柱的上下底面为菱形，则
①， …………2分

由棱柱性质可知
，又
，故

② …………4分

由①②得
平面
，

又
平面
，故平面
平面
………… 6分

（2）设
，

由（1）可知
平面
，

故
…………8分

菱形
中，因为
，
，则
，且

则在
中，
…………10分

易知四边形
为边长为1的菱形，

则当
时（
），
最大，且其值为1. …………12分

故所求体积最大值为
…………13分

19. 解答：（1）如下表格，

红色

橙色

绿色

蓝色

紫色



红色

0

1

1

1

1



橙色

1

0

1

1

1



绿色

1

1

0

2

2



蓝色

1

1

2

0

2



紫色

1

1

2

2

0



易知两个气球共20种涂色方案， …………2分

其中有6种全冷色方案， …………4分

故所求概率为
…………6分

（2）老师发出开始指令起计时，设牛牛完成任务的时刻为
，老师来到牛牛身边检查情况的时刻为
，则由题有
……式1，

若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务，则
……式2，

如下图所示，所求概率为几何概率 10分

阴影部分(式2)面积为

可行域（式1）面积为

所求概率为
12分

20. 解答：（1）由题

…………2分

因为
，则

当
，
，则
在区间
上单调递减；

当
，
，则
在区间
上单调递增. …………5分

（2）
，

注意到
，上式
…………7分

令
，则

…………9分

当
时，
，则
在区间
上递增，则
，

则
在区间
上递增，则
， …………11分

故
，即
的取值范围是
. …………12分

21. 解答：（1）由椭圆性质可知
，其中
，

因为
，故

则
，解之得
…………4分

故

椭圆T的方程为
…………5分

（2）由题知直线AB的方程为
，设直线
与椭圆T相切于x轴下方的点
（如上图所示），则
的面积为
的面积的最大值
.

此时，直线AB与直线
距离为
，而

…………8分

而
，令
，则

设直线
到直线AB的距离为
，则有
，解得
,

注意到
与直线AB平行且
需与椭圆T应有公共点，易知只需考虑
的情形.

直线
经过椭圆T的下顶点

与右顶点
，

则线段
上任意一点
与A、B组成的三角形的面积为6. …………10分

根据题意若存在满足题意的格点G，则G必在直线
与
之间.而在椭圆内部位于四象限的格点为

因为
，故

上方，不符题意

而
，则点
在直线
下方，且
，点在椭圆内部，

故而
为所求格点G. …………12分