南安一中2013-2014学年高二下学期期末考试

数学（理）试题

第I卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．已知全集
,集合
,
,则图中阴影部分所表示的集合（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知函数

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若
，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 设
，则函数
的零点所在区间为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的函数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7. 下列关于命题的说法错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．命题“
”是真命题；

C． “
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件；

D．若命题
：
，则
：

8. 函数
在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　 ）

9. 若函数
在区间
上单调递增，且方程
的根都在区间
上， 则实数b的取值范围为 （　　）

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
是定义在
上的减函数，函数
的图象关于点
对称. 若对任意的
，不等式
恒成立，
的最小值是（　　）

A、3 B、2 C、1 D、0

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．

11. 如图，已知幂函数
的图象过点
，则图中阴影部分

的面积等于 .

12. 曲线
在点（0，1）处的切线方程为 .

13. 已知奇函数
满足
时，
，

则
的值为 .

14. 若命题“

恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是

15、已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
给出以下命题：

①当

时，
； ②函数
有五个零点；

③对
恒成立.

④若关于
的方程
有解，则实数
的取值范围是
；

其中，正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（本小题满分13分）已知集合
，
，

(Ⅰ)求
，
； (Ⅱ)若
，求实数
的取值范围.

17、（本小题满分13分）已知命题
实数
满足
,命题
实数
满足

，若
是
的充分不必要条件,求实数
的取值范围.

18、（本小题满分13分）已知函数
在
处取得极值为

(I)求a、b的值；(II)若
有极大值28，求
在
上的最小值．

19、（本小题满分13分）函数
是定义在
上的奇函数，且
。

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）证明函数
在
上是增函数；

（Ⅲ）解不等式：
.

20、(本题满分14分）己知函数
在
处的切线斜率为
.

(I)求实数a的值及函数
的单调区间；

(II) 设
，对
使得
恒成 立，求正实数k的取值范围；

(III) 证明：
?

21、（本小题满分14分）

(I)（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵
有一个属于特征值
的特征向量
，

①求矩阵
；

②已知矩阵
，点
，
，
，求
在矩阵
的对应

变换作用下所得到的
的面积．

(Ⅱ)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
.

①求直线
普通方程和曲线
的直角坐标方程；

②设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离的取值范围.

南安一中2013～2014学年度高二下学期期末考

理科数学试卷答案及评分标准

综上所述：
的取值范围是
……………………13分

17、解 ：由
,得
, …………………3分

∴记

由
得
，…………………6分

记

∵
是
的充分不必要条件

∴
是
的充分不必要条件, 即


且


, ∴


，…………………8分

要使


，又
，则只需
…………………11分

∴

故所求实数
的取值范围是
. …………………13分

【另解】由
,得
, …………………3分

∴记

由
得
， …………………6分

记

∵
是
的充分不必要条件

∴


且


∴


…………………8分

∴要使


，则只需
…………………11分

∴

故所求实数
的取值范围是
. …………………13分

18. 解：(I)∵

∴
………………1分

又∵
在
处取得极值

∴
， 即

解得：
………………6分

(Ⅱ)由 (I)得：
，

令
，解得：
………………8分































极大值



极小值





∴函数
在
处有极大值，且

∴
，此时，
……………12分

………………13分

19. （Ⅰ）解：
是定义在（—1，1）上的奇函数，
，

又
； …………4分

（Ⅱ）
，

又

∴函数
在
上是增函数； …………8分

另证：任取
，则

∴
，∴函数
在
上是增函数； …………8分

（Ⅲ）解：

解得

…………13分

20. 解：（Ⅰ）由已知：
，

∴由题知
，解得a=1．

于是
，

当x∈(0，1)时，
，f?(x)为增函数，

当x∈(1，+∞)时，
，f?(x)为减函数，

即f?(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
x1∈(0，+∞)，f?(x1) ≤f?(1)=0，即f?(x1)的最大值为0，

由题知：对
x1∈(0，+∞)，
x2∈(-∞，0)使得f?(x1)≤g(x2)成立，

只须

∵


≤
，

∴ 只须
≥0，解得k≥1．………………………………………10分

（Ⅲ）要证明
(n∈N*，n≥2)．

只须证
，

只须证
．

由（Ⅰ）当
时，
，f?(x)为减函数，

f?(x)=lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，

∴ 当n≥2时，
，

，

<

，

∴
．………………………………………14分

21、解：(1)解：①由已知得：


，

∴
解得
故
. ……………3分

②∵


……………4分

∴


，


，


……………6分

即点
，
，
变成点
，
，

∴
的面积为
…………………7分

(2) 解：①直线
的普通方程为：
. …………………2分

曲线
的直角坐标方程为：
【或
】.

………………4分

②曲线
的标准方程为
，圆心
，