邹城二中2013—2014学年高二下学期期中检测

数学（理）

一.选择题：共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线

的离心率为错误！未找到引用源。,则
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．抛物线
的焦点恰好与椭圆
的一个焦点重合，则
（ ）

3.双曲线的焦点为
,且经过点
,则其标准方程为

4.下列不等式对任意的
恒成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )

A. B．1 C. D.

6．方程
在
内根的个数有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

7．若函数
满足
，设
，
，则
与
的大小关系为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8已知
，
，
，三角形
的面积为（ ）

A． B.
C.
D.

9．函数
的最大值为（ ）

A．
B． C．
D．

10．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为（ ）

A．2 B．－1 C．1 D．－2

11. 设
,则
在
处的导数
（ ）

A.
B.
C. 0 D.

12．给出下列五个命题:

①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为23;

②一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;

③一组数据a、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2;

④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为

，
,则
=1;

⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90.

其中真命题为：

A． ①②④　　　B. ②④⑤　　　C. ②③④　　　D. ③④⑤

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13．若
， 其中
都是实数，是虚数单位，则

14．双曲线
过正六边形的四个顶点，焦点恰好是另外两个顶点，则双曲线的离心率为

15. 从双曲线
的左焦点引圆
的切线，切点为，延长
交双曲线右支于点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，

则
=

16.若函数
有两个极值点,则实数的范围是_____________.

三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

直线
与曲线
交于
两点，若
的面积为1，求直线
的方程.

18.(本小题满分12分)

已知函数
．若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，

（1）求实数的值；

（2）求函数
的单调区间；

19.(本小题满分12分)

设函数

（1）求函数
的极大值和极小值

（2）直线
与函数
的图像有三个交点，求的范围

20.（本小题满分12分）

过抛物线
的顶点作射线
与抛物线交于
，

若
，求证：直线
过定点

21．（本小题满分12分）

已知函数
，
．

(1）当
时，求函数
的最小值；

(2）当
时，求证：无论取何值，直线
均不可能与函数
相切；

(3）是否存在实数，对任意的
，且
，有
恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线
与椭圆C交于A、B两点，以
弦为直径的圆过坐标原点
，试探讨点
到直线
的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.

参考答案：

1-5 CCBAD 6-10 BDBAC 11-12 AB

13．
14.
15. 1 16.

17.解 ： 由

到直线的距离：

，所以

所求直线
方程为：

18.解： （1）

，因为
，所以

（2）

19.解：（1）

















0

-

0

 +







极大



极小







,

（2）

20.解 ： 设
，

，即 ：

即：

将（1）代入（2）

直线AB的方程：

所以直线AB过定点

21. 解；（1）显然函数
的定义域为
，

当
．

∴ 当
，
．

∴
在
时取得最小值，其最小值为
．

（2）∵

，

假设直线与
相切，设切点为
，则

所以
所以无论取何值，直线
均不可能与函数
相切。

（3）假设存在实数使得对任意的
，且
，有
,恒成立，不妨设
，只要
，即：

令
，只要
在
为增函数

又函数
．

考查函数

要使
,

故存在实数

恒成立

22.解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意

，

所求椭圆方程为
．

（2）设
，
．

①当
轴时，设
方程为：
，此时
两点关于轴对称，

又以
为直径的圆过原点，设
代人椭圆方程得：

②当
与轴不垂直时，

设直线
的方程为
．联立
，

整理得
，

，