天津市耀华中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学（理）

案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时l00分钟．

第I卷(36分)

一．选择题：本大题共l2个小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上．

1．复数
等于

(A) i (B)
(C)
(D)

2． “因为指数函数
是增函数(大前提)，而
是指数函数(小前提)，所以函数
是增函数(结论)”，上面推理的错误在于

(A)大前提错误导致结论错 (B)小前提错误导致结论错

(C)推理形式错误导致结论错 (D)大前提和小前提错误导致结论错

3．在复平面内，复数
对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“
”类比得到“
”；

②“
”类比得到“
”；

③“
”类比得到“
”；

④“
”类比得到“
”；

⑤“
”类比得到“
”；

以上式子中，类比得到的结论正确的个数是

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

5．设圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为

(A)
(B)
(C)
(D)

6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设

(A)三个内角都不大于60o (B)三个内角都大于60o

(C)三个内角至多有一个大于60o (D)三个内角至多有两个大于60o

7．点P为曲线
上任一点，则点P到直线y=
距离的最小值为

(A) 2 (B) 4 (C) 2
(D)

8．用数学归纳法证明“l+2+22+···+2n+2=2n+3-1，n∈N*”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为

(A) 1 (B) l+2 (C) l+2+22 (D) 1+2+22+23

9．设函数
在定义域内可导，
的图象如左下图所示，则其导函数
的 图象可能为下列图中所示

10．已知函数
在x=2处取得极小值，则常数m的值为

(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D)以上答案都不对

11．函数
的定义域为R，
是
的导数，
=2，对任意x∈R，
>2，

则
>2x+4的解集为

(A)(-l，1) (B)(-1，+∞) (C)(- ∞，-1) (D)(-∞，+∞)

12．定义在R上的可导函数
，且
图象连续不断，
是
的导数，当x≠0时，
>0，则函数
的零点的个数

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或2

第II卷(64分)

二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题纸上．

13．如果复数
为纯虚数，则实数a的值为 ．

14．曲线
在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．

15．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

(1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*l+1，则n*1= ．

16．由曲线
，直线
以及x轴所围成的图形的面积为 ．

17．若函数
在区间(k-l，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 .

18．已知
，
，若对任意的x1∈[-1,2]，总存在x2∈[1，
]，使得
，则实数m的取值范围是 .

三．解答题：本题共4个题，共46分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上．

19．(本小题11分)

已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC， DAB=90o，PA底面ABCD,

且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点．

(I)证明：平面PAD平面PCD；

(II)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；

(III)求平面AMC与面BMC所成锐二面角的大小的余弦值．

20．(本小题11分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意n∈N*都有Sn=2n-an．

(I)计算a1，a2，a3，a4；

(II)猜想该数列的通项公式an，并用数学归纳法证明猜想的正确性。

21．(本小题11分)

已知函数
(a∈R)．

(I)求函数
的单调区间；

(II)设a=1，若不等式
<0对任意的0

22．(本小题l3分)

已知函数
．

(I)若a>0，试判断
在定义域内的单调性；

(II)若
在[1，e]上的最小值为
，求实数a的值；

(III)若
在(1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

附加题：(共20分)请将答案填写在答题纸上．

1．数列{an}的通项公式
，前n项和为Sn，则S2012= ．

2．已知函数
，

，设函数F(x)=f (x+3)·g(x-4)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a

3．已知函数
．

(I)若函数
在(0，+)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

(II)设p，q∈R+，且p>q，求证：
.