一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分；每小题给出选项中，有且只有一项是正确的)

1．设
是虚数单位），则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.用数学归纳法证明“
时，从 “
到
”时，左边应增添的式子是 （ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
，则“
”是“
”的 （ ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

4．已知
的单调递增区间是 （ ）

A.
B.
C.
D.

5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6．已知函数
是定义在区间-2，2上的偶函数，当
时，
是减函数，如果不等式
成立，则实数的取值范围 （ ）

A.
B. 1，2 C.
D.

7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)

A．a≤0 B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1

8.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)

A. B. C. D.

9.下列命题中，真命题是(　　)

A．?x∈R，ex≤0

B．?x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件

10．下列函数求导运算正确的个数为(　　)

①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.

A．1 B．2 C．3 D．4

11．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

上述三个推理中，正确的个数为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

12．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，且有
，则不等式
的解集为(　　)

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本题4个小题，共20分）

13．（1）若函数
，且
当
且
时，
猜想
的表达式　　　　　　　　　　　．

　 （2）用反证法证明命题＂若
能被３整除，那么
中至少有一个能被３整除＂时，假设应为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

14．已知定义域为Ｒ的奇函数
的导函数为
，当
时，
若
，
，
，则
的大小关系是　　 　　　．

15．已知
若
的定义域和值域都是
，则
．

16．下列命题中：（1）若
满足
，
满足
，则
；

（2）函数
且
的图象恒过定点Ａ，若Ａ在
上，其中
则
的最小值是
； （3）设
是定义在Ｒ上，以１为周期的函数，若
在
上的值域为
，则
在区间
上的值域为
； （4）已知曲线
与直线
仅有２个交点，则
； （5）函数
图象的对称中心为（2，1）。

其中真命题序号为 ．

三.解答题（本题6个小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设x∈[－，]，求f(x)的值域和单调递增区间．

18.（本小题满分12分）

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，

要求版心面积为128dm2 ，上、下两边各空2dm，

左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能

使四周空白面积最小？

19．（本小题满分12分）

已知函数
其中

在
中，
分别是角的对边，且
．

（1）求角Ａ；

（2）若
，
，求
的面积．

20．（本小题满分12分）

（1）已知函数
,过点Ｐ
的直线
与曲线
相切，求
的方程；

　 （2）设
，当
时，
在１,４上的最小值为
，求
在该区间上的最大值．

21．（本小题满分12分）

设函数

（1）已知
在区间
上单调递减，求的取值范围；

（2）存在实数，使得当
时，
恒成立，求
的最大值及此时的值．

22.（本小题满分12分）

已知函数

若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使
，

求实数a的取值范围？

参考答案:

17.(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sinxcosx

＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，

∴f(x)的最小正周期为π.

(2)∵x∈[－，]，∴－≤2x＋≤π，

∴－≤sin(2x＋)≤1.

∴f(x)的值域为[－2，]．

当y＝sin(2x＋)递减时，f(x)递增，

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，

又x∈[－，]，∴≤x≤.

故f(x)的单调递增区间为[，]．

19．解：（1）

=

=

因为
， 所以 2
即
或
，

也即
（舍）或
。

（2）由余弦定理得
，整理得

分

联立方程
解得
或
。

所以

。

（2）令
得
，
，

故
在
上递减，在
上递增，在
上递减。

当
时，有
，所以
在
上的最大值为

又
，即
。

所以
在
上的最小值为
，得

故
在1，4上的最大值为

（3）当
时，
在
上递减，在
上递增，要使
恒成立，只需满足
由前二式得
，由后二式得
又
得
即
，故
所以
。当
时，
时满足题意。综上
的最大值为3，此时