邹城二中2013—2014学年高二下学期期中检测

数学（文）

一.选择题：共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线
的焦点坐标为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 曲线
在点
处的切线斜率为（ ）

A． B． C． D．

3. 双曲线
的渐近线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 椭圆
的左右焦点为
、
，一直线过
交椭圆于、两点，则
的周长为 （ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

5．已知y与x线性相关，其回归直线的斜率的估计值为1.23，样本的中心点为（4,5），则其回归直线方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．观察下列式子：
，

…，则第n个式子是 （ ）

A．

B．

C．

D．

7．函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为 （ ）

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

9．椭圆

的一个焦点为
，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )

A.
　　B.
　　C.
　　D.

10.在复平面内，复数
（i为虚数单位）等于( )

A.
B.
C.
D.

11. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为
,离心率等于
,则椭圆的方程是( )

A．
B．
C．
D．

12. 函数
在区间
上( )

A．有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值.

二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分

13．若
，且函数
在
处有极值，则ab的

最大值为

14．已知命题p:
,命题q:
,且﹁q是﹁p的必要不充分条件，则的取值范围是___________

15. 已知命题p:“
”,命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为____________

16．过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
两点，线段
的中点
的纵坐标为2，则线段
长为 ．

三．解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知双曲线的渐近线方程为
,并且经过点
,求双曲线的标准方程.

18.（本小题满分12分）

设函数
R,求函数
在区间
上的最小值.

19. （本小题满分12分）

抛物线的焦点在轴正半轴上，过斜率为
的直线
和轴交于点，且
(
为坐标原点)的面积为,求抛物线的标准方程．

20. （本小题满分12分）

已知函数
在区间
上为单调增函数，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆

上的点到椭圆右焦点的最大距离为
，离心率
，直线
过点与椭圆
交于
两点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）
上是否存在点，使得当
绕转到某一位置时，有
成立？

若存在，求出所有点的坐标与
的方程；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中xn为正实数.

（1）用xn表示xn+1；

（2）若x1=4，记an=lg
，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

（3）若x1＝4，bn＝xn－2， Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

参考答案：

1-5 AABBA 6-10 CBDAB 11-12 DD

13.
14.
15. 2 16.

17. （1）若双曲线焦点在轴上，则
设双曲线的方程为
，代入点
得，
，无解.

（2）若双曲线焦点在轴上，则
设双曲线的方程为
，代入点

解得，
.双曲线方程为：

18.解：
，令
得，

当
时，
的变化情况如下表：













0

+





单调递减

极小值

单调递增





又
，

所以，
在区间
上的最小值为
.

19.解：设抛物线方程为

则焦点坐标为
，直线
的方程为
，

它与轴的交点为
，

所以
的面积为
，

解得
，所以抛物线方程为
．

20.解：

因为
在区间
上单调递增，

所以
对任意
恒成立

,

对任意
恒成立

设
，则

21.解：（1）由条件知
，解得
，

所以
，故椭圆方程为
．

（2）C上存在点，使得当
绕转到某一位置时，有
成立．

由 （Ⅰ）知C的方程为
+
=6. 设

(ⅰ) 当
垂直于轴时，由
知，C上不存在点P使
成立．

（ⅱ）

将

于是
,
=
,

　C 上的点P使
成立的充要条件是
，

设
，则

所以
.因为在椭圆上，

将
代入椭圆方程，得：
，所以
，

当
时，
，
；

当
时，
，
．

综上，C上存在点
使
成立，

此时
的方程为
.

22.解：（1）由题可得
．

所以曲线
在点
处的切线方程是：
．

即
．

令
，得
．

即
．显然
，

∴
．

（2）由
，知
，’同理
．----6’

故
．-----7’

从而
，即
．所以，数列
成等比数列．---8’

故
．即
．----9’

从而
,所以
.----10’

（3）由（Ⅱ）知
，∴

∴
---11’

当
时，显然
．-------12’

当
时，
-----13’

∴



．综上，

．