考试时间：120分钟 满分：150分

选择题：（每题5分共60分）

1．
二项展开式中的常数项为( )

A.112 B. -112 C .56 D. -56

2．右面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元),则销售额中的中位数是( )

A.30.5 B.31 C.31.5 D.32

3若X是离散型随机变量，
，且
，又已知
，则
（ ）

A． B．
C．
D．

4．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 (　　)．

A．8 B．12 C．16 D．24

5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间
的人做问卷，编号落入区间
的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为(　　)

A．7 B．9 C．10 D．15

6．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法(　　)

A．15种 B．18种 C．19种 D．21种

7．设X为随机变量，X～B
，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于( )

A.
B.
C.
D.

8．某单位为了了解用电量 (千瓦时)与气温 (
)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温 (
)

18

13

10





用电量 (千瓦时)

24

34

38

64



由表中数据得线性回归方程
中
，预测当气温为
时，用电量约为( )

A．58千瓦时 B．66千瓦时 C．68千瓦时 D．70千瓦时

(参考公式：
)

9．某程序框图如图所示，若
，则该程序运行后，输出的的值为（ ）

A. 33 B．31 C．29 D．27

10．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)．

A.
B.
C.
D .

11．将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,那么k的值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D .3

12．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为
,则
=(　　)

A.
B.
C.
D .

二、填空题（每题5分共20分）

13．若
，则＝________.

14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出 人.

15如果随机变量
，且
，则
＝ ．

16.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 .

三、解答题

17. 如图，四棱锥
中,
，底面
为梯形，
，
，且

.（10分）

（1）求证：
;

（2）求二面角
的余弦值.

18.某种玫瑰花，进货商当天以每支1元从鲜花批发商店购进，以每支2元售出．若当天卖不完，剩余的玫瑰花批发商店以每支0.5元的价格回收．根据市场统计，得到这个季节的日销售量X(单位：支)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．（12分）

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)若进货量为 (单位支)，当n≥X时，求利润Y的表达式；

(3)若当天进货量n＝400，求利润Y的分布列和数学期望E(Y)(统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)．

19.为了解七班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．（12分）

（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为
，求
的分布列与期望.

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

20. 已知盘中有编号为A,B,C,D的4个红球,4个黄球,4个白球(共 12个球)现从中摸出4个球(除编号与颜色外球没有区别) （12分）

(I)求恰好包含字母A, B,C,D的概率;

(II)设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X.求X的分布列和期望E(X).

21.哈六中体育节进行定点投篮游戏，已知参加游戏的甲、乙两人，他们每一次投篮投中的概率均为
，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（12分）

（1）求甲同学至少有4次投中的概率；

（2）求乙同学投篮次数
的分布列和数学期望．

22. 已知椭圆
经过点
，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形. （12分）

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆
交于，两点，若线段
的垂直平分线经过点
，求

（
为原点）面积的最大值.

高二理科数学答案

一、选择题：（每题5分共60分）ABADC BACBB CD

二、填空题（每题5分共20分）13.3或5 14.25 15.0.1 16.

三、解答题

17. （1）连结
,交
于点
,连结
， ∵
，
， ∴

又 ∵
, ∴
∴ 在△BPD中，

∴
∥平面
----------------4分

（2）方法一：以为原点，
所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设
，则
，
，
，
，
．

设
为平面
的一个法向量，

则
，
，∴
，

解得
，∴
．

设
为平面
的一个法向量，则
，
，

又
，
，∴
，

解得
，∴

∴二面角
的余弦值为
． -------------------10分

方法二：在等腰Rt
中，取
中点
，连结
，则

∵面
⊥面
，面

面
=
，∴
平面
．

在平面
内，过
作
直线
于
，连结
，由
、
，

得
平面
，故
．

∴
就是二面角
的平面角．

在
中，设
，
，
，

，
，

由
，
可知：
∽
，

∴
， 代入解得：
．

在
中，
，

∴
，
．

∴二面角
的余弦值为
．-------------------10分

18. (1)由图可得100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a＝0.0015.—3分

(2)∵n≥X，∴Y＝(2－1)X－(n－X)0.5＝1.5X－0.5n.----------6分

(3)若当天进货量n＝400，依题意销售量X的可能值为200，300，400，500，

对应的利润Y分别为100，250，400.利润Y的分布列为

Y

100

250

400



P

0.20

0.35

0.45



所以E(Y)＝100×0.20＋250×0.35＋400×0.45＝287.5(元)．-----------------12分

19. 解：(1) 列联表补充如下： -----------------------3分

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



（2）∵

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.-- -----7分

（3）喜爱打篮球的女生人数
的可能取值为
.

其概率分别为
,
,

故
的分布列为:




















的期望值为:
---------------------12分

20. (Ⅰ) P=
--------------4分

(Ⅱ)
,
,

.

X

1

2

3



P









 分布列为:

--------------------12分

21. （1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则

=
=
． 4分

（2）由题意
．

，
，
，
，

．

的分布表为

1

2

3

4

5


















的数学期望
． 12分

22. （1）∵椭圆
的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，

∴
， ∴
， 2分

又∵椭圆经过点
，代入可得
，

∴故所求椭圆方程为
4分

(2)设
因为
的垂直平分线通过点
， 显然直线
有斜率，

当直线
的斜率为
时,则
的垂直平分线为轴，此时

所以
，因为
，所以

所以
，当且仅当
时，
取得最大值为
， 6分

当直线
的斜率不为
时，则设
的方程为

所以
，代入得到

当
, 即

方程有两个不同的解又
，

所以
，又
，化简得到

-----8分

代入
，得到

又原点到直线的距离为

所以

考虑到
且
化简得到
10分

因为
，所以当
时，即
时，
取得最大值
.

综上，
面积的最大值为
12分