2013—2014学年度第一学期

高二年级数学科期考试题(理科)

满分：150分 考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是

A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题

2．下列四个命题中的真命题是

A．?x∈R，x2＋3<0 B．?x∈N，x2≥1

C．?x∈Z，使x5<1 D．?x∈Q，x2＝3

3．抛物线
的准线方程是
，则实数的值为

A．4 B．-4 C．
D．

4 在△
中，“
”是“
”的

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果

A．2· B．2· C．2· D．2·

6．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，

则下列结论中不正确的是

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

7．在平面直角坐标系
中，已知
顶点
和
，顶点B在椭圆
上，则

A．
B．
C．
D．

8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为

A．60° B．45° C．30° D．90°

9．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?面M，AC⊥面M，BD⊥AB，

BD与面M成30°角，则C、D间的距离为

A．1 B．2

C． D．

10．已知双曲线的中心在原点，两个焦点
分别为
和
，点在双曲线上且
，且
的面积为1，则双曲线的方程为

A．
B．
C．
D．

11．过椭圆＋＝1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率e为

A． B． C． D．

12. 已知直线
和直线
，抛物线
上一动点到直线
和直线
的距离之和的最小值是

A.2 B.3 C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．若双曲线
的一个焦点是
，则实数
．

14．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是 ．

15．空间四点O（0,0,0）,A（0,0,3）,B（0,3,0）,C（3,0,0）,O点到平面ABC的距离为 .

16．过点P（-2，-1）且与抛物线
有且只有一个交点的直线方程为=

。

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分)

已知函数

，

求证：函数
是偶函数的充要条件为
．

18．(本小题满分12分)

已知a>0设命题p：函数y＝()x为增函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋>

恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．

19．（本小题12分）

如图，直线
与抛物线
交于

两点，与轴相交于点
，且
．

（1）求证：
点的坐标为
；

（2）求证：
．

20．（本小题满分12分）

长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=
，E、F

分别是面A1C1、面BC1的中心.

（1）求证：AF⊥BE;

（2）求二面角F-BC-E的余弦值。

21．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
，
，

点、分别是
、
的中点，
底面
．

（1）当
时，求直线
与平面
所成角的余弦值；

（2）当
取何值时，
在平面
内的射影恰好为

△
的重心？

22．（本小题满分12分）

已知椭圆
的两个焦点为
、
，点在椭圆G上，且
，且
，斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为Q（-3,2）.

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△QAB的面积。

2013—2014学年度第一学期

高二年级数学期考试题(理科)

参考答案及评分标准

第Ⅰ卷 选择题

选择题(每小题5分，共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

B

C

D

B

D

C

C

C

A



第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题（每题5分，共20分）

13.
14．[1,2) ； 15.
； 16.
。

三、解答题（共70分）

17．证：充分性：定义域关于原点对称．

，
，
，

所以
，所以
为偶函数．……………………………………5分

必要性：因为
是偶函数，则对任意x有
，

得
，即
，所以
．

综上所述，原命题得证．……………………………………………………… 10分

18．解：由y＝()x为增函数得，0

因为f(x)在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．

∴f(x)在x∈[，2]上最小值为f(1)＝2. …………………………………………5分

当x∈[，2]时，由函数f(x)＝x＋>恒成立得，2>，解得a> ……………7分

如果p真且q假，则0

如果p假且q真，则a≥1 ………………………………………………………11分

所以a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞) ………………………………………12分

19．(本小题满分12分)

解: (1) 设
点的坐标为
, 直线
方程为
, 代入
得

①
是此方程的两根,

∴
，即
点的坐标为（1, 0）. ………………6分

(2) ∵

∴

∴
. ……………………………………………………12分

20．解：（1）以D为坐标原点DA、DC、DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

则A（2,0,0），F（1,2,
）,B（2,2,0），E（,1,
） ………………4分

，

1-2+1=0

∴ AF⊥BE; ……………6分

（2）平面FBC的一个法向量为

=（0，1，0） ……………7分

设平面EBC的一个法向量为

则
,

x=0,令z=1,则y=
, 所以
………………………10分

，所以所求二面角余弦值为
. ………12分

21. 解：
，

以O为原点，射线OP为非负z轴，

建立空间直角坐标系
（如图）

设
则
，

设
，则
………………………………………………………2分

(1)
，即
，可求得平面PBC的法向量
，
，………5分

设PA与平面PBC所成的角为
，则
，

与平面
所成角的余弦值为
…………………………6分

（2）
的重心
，

，

又
，…………9分

∴
……………………………………10分

反之，当
时，三棱锥
为正三棱锥，

∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心。 ………………………………12分

22. 解：（1）由已知得
，
，又
，

所以椭圆G的方程为
…………………………4分

（2）设直线l的方程为
由
得，

设A、B的坐标分别为
AB中点为E
，则

因为AB是等腰△QAB的底边，

所以QE⊥AB.所以QE的斜率
解得m=2。……………………8分

此时方程①为
解得

所以
所以|AB|=
.

此时，点Q（—3，2）到直线AB：
的距离

所以△QAB的面积S=
…………………………………12分