二〇一二级高二上学期模块考试

理科数学参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

ADDCB BBCAC DB

1．解析：答案A，双曲线
的渐近线方程为
.

2．解析：答案D，选项A中忽略了当
的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了
的情况，故C错.

3．解析：答案D，特殊值验证
，∴
是假命题，故选D．

4．解析：答案C，由
得
，故解集为
.

5．解析：答案B，由
得
，由
得
，解得
，

所以
.

6．解析：答案B，
，

，则

=
.

7．解析：答案B，在
中，

，则
，由余弦定理
得
，又
，
=
.

8．解析：答案C，
有一个正根和一个负根的充要条件是
即
，则其充分不必要条件是
.

9．解析：答案A，，的夹角为钝角，由
=
知

则
，等价于
或
，则不等式组表示的平面区域为A.

10．解析：答案C，设
=1，则
，
=1，
.则异面直线
与
所成的角为
.

11．解析：答案D，设
中三条边
边上高的长度分别为
.则
，得
，
，
，故
为钝角，
为钝角三角形.

12．解析：答案B，由题意可得
，椭圆离心率
.故当取最大值时取最小，取最小值时取最大．由椭圆的定义可得
，
由于
有最小值而没有最大值，即有最小值而没有最大值，故椭圆离心率有最大值而没有最小值，故B正确，且D不正确．当直线
和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于
，故这两个交点对应的离心率相同，故A不正确．由于当
的取值趋于负无穷大时，
趋于正无穷大；而当
的取值趋于正无穷大时，
也趋于正无穷大，故函数
不是增函数，故C不正确．故选B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.
14.
15. 16.

13.解析：答案
，设抛物线的方程为
，代入点
,得
，故抛物线的方程为
.

14.解析：答案
，如图所示，在
中，

，
，故
，

由正弦定理可得
，

解得
，所以该船的航行速度为
海里/小时．

15.解析：答案，根据题意，
，
，
，
，
，……，所以，数列
是以为周期的周期数列，又
，所以
.

16.解析：答案
，画出可行域如图，将目标函数

化为直线的斜截式方程
，显然当目标函数方向

线的斜率大于等于可行域的边界

的斜率时，

直线
在点
处截距最小，即
时，
是目标函数
取得最大值时的最优解.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17．解：
方程
表示焦点在轴上的双曲线，

，即
.故命题：
；

方程
无实根，
，

即
?，
.故命题：
. ………………………………
分

又为真，
为真，?真假.

即
，此时
；

综上所述：实数的取值范围为
.…………………………………………
分

18．解：（Ⅰ）由
，根据正弦定理得:
，

因为在三角形中
所以
，

由
为锐角三角形得
．…………………………………………………………
分

（Ⅱ）根据余弦定理，得

所以
……………………………………………………………………………………
分

19.解：（Ⅰ）
，是
的中点，
，
是等腰直角三角形，

易知,
，即
.又平面
平面
，面
∩面

面
，又
面
,

；…………………………………………………………………………………
分

（Ⅱ）法一：设
是线段
的中点，过
作

垂足为，连接
，
，则

平面
平面
,
平面
,

是
在平面
上的射影，由三垂线定理

得：

是二面角
的平面角.

在
中，

，

,
二面角
的余弦值为
.………………
分

法二：分别以
，
所在的直线为轴、轴，过垂直于平面
的射线为轴，

建立如图空间直角坐标系.则
，
，
,

设平面
的法向量为
；

平面
的法向量为

二面角
的余弦值为
.………………………………………………………
分

20．解：（Ⅰ）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，则

，

即
，

由
，解得
，而
，故从第
年开始运输累计收入超过总支出.………………………………………………………………………
分

（Ⅱ）因为利润=累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为

，

而
，当且仅当
时等号成立.

即小王应当在第5年底将大货车出售，才能使年平均利润最大. ……………………
分

21.解：（Ⅰ）
，
，
，
，

，
，
，

数列
为等比数列，
，即
，解得
或
（舍），

当
时，
，即
，

，所以
满足条件；……………………………………………………………分

（Ⅱ）
，数列
为等比数列，
，

，
，
，
，

，

；……………………………………………………………………………………分

（Ⅲ）
，

，

两式相减得

，

.…………………………………………………………………
分

22.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

，

又
，
，
．

椭圆
的方程为
． ……………………………………………………………分

（Ⅱ）将直线
的方程
代入椭圆
的方程

中，得

．

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，

，

化简得：
．

设
，
，

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，则

，

， ………………………………………………………………………分

，

，当
时，
，因为
在
上单调递增，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

所以四边形
面积
的最大值为
． …………………………………………
分

（法二）
，

．

． ……………………
分

四边形
的面积

，

．

当且仅当
时，
，故
．

所以四边形
的面积
的最大值为
．……………………………………………
分