成都市实验外国语学校高2012级（高二下）入学考试

数 学 试 题

命题人： 赵 光 明

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（ C )

（A）6 （B）4 （C）3 （D）2

2、（文科）已知i是虚数单位，若
，则复数z＝（ C ）

（A）
（B）
（C）
(D）

（理科）从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ C ）

A 85 B 56 C 49 D 28

3、某算法的程序框图如下左图所示，则输出S的值是（ C ）

（A）6 （B）24 （C）120 （D）840

（第3题 图）

4、学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单 位:元),其中支出在
(单位:元)的同学有67人,其频率分布直方图如上右图所示,则n的值为（　A　）

A．100 B．120 C．130 D．390

5、（文科）若
都是实数,则“
”是“
”的（ A ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有（ A ）

A．19种 B．17种 C．15种 D．12种

6、三棱锥P-ABC中，已知PA,PB,PC两两互相垂直，
,则此三棱锥的外接球的表面积为（ C ）

A.
B.
C.
D.

7、设
，b，c是空间三条不同的直线，
，
是空间两个不同的平面，则下列命题不成立的是（ D ）

当
时，若
⊥
，则
∥

当
，且
是
在
内的射影时，若b⊥c，则
⊥b

　 C．当
时，若b⊥
，则

D．当
时，若c∥
，则b∥c

8、已知
,若向区域
上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为( A ）

A．
B．
C．
D．

9、如图，在棱长为10的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A—A1 D1 —B1内运动所形成几何体的体积为（ B ）

A．
B．
C．
D．

10、在棱长为1的正方体
中，点
，
分别是线段
，
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是(A)

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11、为了调查城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的

城市数为____4___.

12、经过点
,且与直线
垂直的直线方程是_
_.

13、如下左图给出了一个程序框图,其作用是输入
的值,输出相应的
值,若要使输入的
值与输出的
值相等,则这样的
值有____3__ 个.




（第13题图） （第14题图）

如上右图,在棱长为4的正方体
内(含正方体表面)任取一点
,则
的概率
___
_.

如右图,正方体
的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段
上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①③⑤______(写出所有正确命题的编号).

①当
时,S为四边形;

②当
时,S不为等腰梯形;

③当
时,S与
的交点R满足
;

④当
时,S为六边形;

⑤当
时,S的面积为
.

三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本题12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）











频数（个）

5

10

20

15



（1）根据频数分布表计算苹果的重量在
的频率；

（2）用分层抽样的方法从重量在
和
的苹果中共抽取4个，其中重量在
的有几个？

（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在
和
中各有1个的概率。

解：（1）由频数分布表得苹果重量在
的频数为20，而样本个数为50，

所以频率为

（2）抽取的比例为
，所以重量在
应抽
（1个）

（3）抽出的4个苹果中，重量在
的有1个记为a，重量在
内有3个，记为b，c，d，从中任取2个，有
，
，
，
，
，
共6种，其中，重量在
和
中各有一个有
，
，
共3种，∴所求的概率

17、（本题12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD= BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点. (1)求证:AB⊥面PAD (2)求证:EF∥面PAD.

证明:(1)因为PD⊥面ABCD,

所以PD⊥AB

在平面ABCD中,D作DM//AB,则由AB=12得

DM=12.

又BC=10,AD=BC,则AD=5,从而CM=5.

于是在△CDM中,CD=13,DM=12,CM=5,则

由
及勾股定理逆定理得DM⊥BC .

又DM//AB,BC//AD,所以AD⊥AB.

又PD∩AD=D,所以AB⊥面PAD

(2) 取AB的中点N,连结
EN、FN.

因为点E是棱
PB的中点,所以在△ABP中,EN//PA.

又PA(面PAD,所以EN//面PAD

因为点F分别是边CD的中点,所以在梯形ABCD中,FN//AD.

又AD(面PAD,所以FN//面PAD

又EN∩FN=N,PA∩DA=A,所以面EFN//面PAD

又EF(面EFN,则EF//面PAD

18、（本题12分文科）设命题p:实数x满足
,其中
,

命题
实数
满足
.

若
且
为真,求实数
的取值范围;

(2)若
是

的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

解: 由
得
,

又
,所以
,

当
时,1<
,即
为真时实数
的取值范围是1<
.

由
,得
,即
为真时实数
的取值范围是
.

若
为真,则
真且
真,所以实数
的取值范围是
.

(Ⅱ)
是
的充分不必要条件,即


,且


,

设A=
,B=
,则


,

又A=
=
, B=
=
},

则0<
,且
所以实数
的取值范围是
.

（理科） 18、（1）有4男3女排成一排其中甲不在正中间和两端，求有多少种排法？

（2）有4男4女排成一排其中男女相间，有多少种排法？

（3）有4男4女排成两排，每排4人，有多少种排法？

解:（1）
（2）2
（3）

19、（本题12分）据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

y人



社会人士

600人

x人

z人



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数为2的概率

解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60．

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720．

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人．

（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，

∴ 在所抽取的6人中，在校学生为
=4人，社会人士为
=2人，

于是第一组在校学生人数为2， P(ξ=2)=
，

20、（本题12分）如图:已知
是圆
与
轴的交点,
为直线
上的动点,
与圆
的另一个交点分别为
.

(1) 若
点坐标为
,求直线
的方程 (2)求证:直线
恒过定点.



解(1)直线PA方程为
, 由
解得
,

直线PB的方程
,由
解得
,

所以
的方程

(2)设
,则直线PA的方程为
,直线PB的方程为

得
,同理

直线MN的斜率

直线MN的方程为
,

化简得:

所以直线
过定点

21、（本题14分）在直角梯形ABCD中，AD((BC，
,
（如图1）．把
沿
翻折，使得二面角
的平面角为
（如图2）

（1）若
，求证：
；

（2）是否存在适当
的值，使得
，若存在，求出
的值，若不存在说明理由；

（3）若
，取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得
。令PQ与BD和AN所成的角分别为
和
。求
的最大值。

解：（1）
.

（2）不存在

（矛盾）

（3）在BN线段取点R使得

从而易得
，

另一方面，易证
，从而
。

从而有

当且仅当
，即
时取得最大值。