命题人：湖南师大附中高二数学备课组

(考试范围：选修1－1第2－3章)

　　本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

得分：　　　　　　　

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.抛物线x2＝8y的焦点坐标是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(0，－2) B.(0,2)

C.(2,0) D.(－2,0)

2.θ是第三象限角，方程x2＋y2sin θ＝cos θ表示的曲线是

A.焦点在y轴上的双曲线

B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆

D.焦点在x轴上的椭圆

3.设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上.若椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

4.函数y＝xln x在(0,5)上是

A.单调增函数

B.单调减函数

C.在上单调递增，在上单调递减

D.在上单调递减，在上单调递增

5.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为

A.y＝±x B.y＝±2x

C.y＝±x D.y＝±x

6.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为

A.a≥3 B.a>3 C.a≤3 D.a<3

7.已知函数f(x)＝x－sin x，若x1，x2∈，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等式中正确的是

A.x1>x2 B.x1

C.x1＋x2>0 D.x1＋x2<0

8.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥对任意x>0恒成立，则p是q的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

得　分



答案





















二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.

9.若双曲线－＝1右支上一点P到右焦点的距离为8，则点P到左焦点的距离是　　　　.

10.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是　　　　.

11.设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为　　　　.

12.如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是　　　　.

13.设m∈R，若函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是　　　　.

14.若要做一个容积为108的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为　　　　时，材料最省.

15.已知命题p：方程＋＝1表示的曲线为椭圆；命题q：方程＋＝1表示的曲线为双曲线；若p或q为真，p且q为假，则实数的取值范围为　　　　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题12分)

已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积.

17.(本小题满分12分)

定义在R上的函数f(x)＝x3＋cx＋3 ，f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直.

(Ⅰ)求函数y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)设g(x)＝4ln x－f′(x)，求g(x)的极值.

18.(本小题12分)

经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1)， C(x2，y2)，－x0

(Ⅰ)求轨迹M的方程；

(Ⅱ)证明：∠BAD＝∠CAD.

19.(本小题13分)

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

20.(本小题13分)

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(0,1).

(Ⅰ)求此椭圆的方程；

(Ⅱ)已知定点E(－1,0)，直线y＝kx＋2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

21.(本题满分13分)

已知函数f(x)＝ax2＋ln x(a∈R)

(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)在区间[e，e2]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)在公共定义域D上，满足f1(x)

湖南师大附中2015届高二第一学期第三次月考试题文科数学参考答案－湖南师大附中2015届高二第一学期第三次月考试题

数学(文科)参考答案

一、选择题

1.B　【解析】因其焦点在y轴上，p＝4，故选B.

2.A　【解析】因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，原方程可化为＋＝1，又cos θ<0，>0，故原方程表示焦点在y轴上的双曲线.

3.B　【解析】因为△PF1F2的周长＝2a＋2c＝12，e＝＝，所以a＝4，c＝2，b2＝12， 故选B.

4.D　【解析】f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1(x>0).令f′(x)＝0，得x＝，∴在x∈上，f′(x)<0，在x∈，f′(x)>0，故选D.

5.B　【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，代入抛物线得x＝x2＋2，即x2－x＋2＝0，要使渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则Δ＝2－8＝0，即b2＝8a2，所以此双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±2x，选B.

二、填空题

9.16　【解析】因点P在右支上，点P到左焦点的距离－8＝8，所以点P到左焦点的距离＝16.

10.－1　【解析】由题意，知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝·2c，从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(＋1)，所以e＝＝＝－1.

11.21　【解析】∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴?∴a－b＝－3＋24＝21.

12.－　【解析】f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－＋a＝－.

13.m<－　【解析】因为函数y＝ex＋2mx(x∈R)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根.令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限.由图像可得－2m>1，即m<－.

14.3　【解析】设水箱的高度为h，底面边长为a，那么V＝a2h＝108，则h＝，水箱所用材料的面积是S＝a2＋4ah＝a2＋，令S′＝2a－＝0，得a3＝216，a＝6，∴h＝＝3，经检验当水箱的高为3时，材料最省.

15.m∈(1,2]∪[3，＋∞)　【解析】若p真，则，得m>2；若q真，则(m－1)(m－3)<0，得1

三、解答题

16.解：由双曲线方程－＝1，

可知a＝3，b＝4，c＝＝5.2分

由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，4分

将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|.6分

又∵∠F1PF2＝90°，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝100

＝36＋2|PF1|·|PF2|，

∴|PF1|·|PF2|＝32，10分

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.12分

19.解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，所以a＝2.2分

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).9分

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(3,4)

4

(4,6)



f′(x)

＋

0

－



f(x)

单调递增

极大值42

单调递减



由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.12分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.13分

20.解：(Ⅰ)根据题意，解得，.

所以椭圆方程为＋y2＝15分

(Ⅱ)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，由直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.7分

设C(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

假设存在实数k，使得以CD为直径的圆过E点，则·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，9分

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以

(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2>1.12分

所以存在k＝，使得以线段CD为直径的圆过E点.13分

要使p(x)<0在此区间上恒成立，只需满足p(1)＝－a－≤0?a≥－，所以－≤a≤.10分

又因为h′(x)＝－x＋2a－＝＝<0，h(x)在(1，＋∞)上是减函数.

h(x)

综合可知a的取值范围是13分

另解：(接在(*)号后)

先考虑h(x)，

h′(x)＝－x＋2a－＝－<0，

h(x)在(1，＋∞)上递减，只要h(1)≤0，即－＋2a≤0，解得a≤.9分

而p′(x)＝对x∈(1，＋∞)，且a≤有p′(x)<0.10分

只要p(1)≤0，即a－－2a≤0，解得a≥－，所以－≤a≤，12分

即a的取值范围是.13分