数学试题

一、选择题：

1．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生( )

A．30人，30人，30人 B．30人，50人，10人

C．20人，30人，40人 D．30人，45人，15人

2．某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )

A.至多有一次中靶 B.两次都不中靶 C.两次都中靶 D.只有一次中靶

3．如果两条直线l1:
与l2:
平行，那么等于( )

A．2或
B．2 C．
D．

4.A、B是直二面角
的棱
上的两点，分别在
内作垂直于棱
的线段AC，BD，已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为（ ）

A.1 B.2 C.
D.

5.．设正实数
满足
，则当
取得最大值时，
的最大值是（ ）

A. 0 B. 1 C.
D. 3

6．某商品销售量 (件)与销售价格 (元/件)负相关,则其回归方程可能是( )

A.
B.

C.
D.

7．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）

A.必要条件 B.充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

8.在△ABC中，已知
，则C=（ ）

A.300 B.1500 C.450 D.1350

9．在△ABC中，若a = 2 ,
,
, 则B等于（ ）

A．
B．
或
C．
D．
或

10．等比数列
中,
则
的前4项和为（ ）

A． 81 B．120 C．168 D． 192

二、填空题：

11.某服装制造商现有
的棉布料,
的羊毛料,和
的丝绸料.做一条裤子需要
的棉布料,
的羊毛料,
的丝绸料.一条裙子需要
的棉布料,
的羊毛料,
的丝绸料.一条裤子的纯收益是50元,一条裙子的纯收益是40元,则该服装制造商的最大收益为 元.

12.
与
的等比中项为 .

13.若直线被两条平行直线
与
所截得的线段长为
，则直线的倾斜角等于 ．

14.下列命题中，真命题的序号是 .

①
中，

②数列{
}的前n项和
，则数列{
}是等差数列.

③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是
.

④等差数列{
}前n项和为
。已知
+
-
=0，
=38,则m=10.

⑤常数数列既是等差数列又是等比数列.

⑥数列{
}满足，
，则数列{
}为等比数列.

15.右边程序的运行结果为 ．



三、解答题

16.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

已知
，
.

(Ⅰ)求
的值； (Ⅱ)若
，求ABC的面积．

17.求经过直线
的交点M,且满足下列条件的直线方程：

(1)与直线2x+3y+5=0平行; (2)与直线2x+3y+5=0垂直.

18.某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布直方图如下（单位：cm）



（1）根据频率分布直方图,求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值.

（2）在身高为140—160的学生中任选2个,求至少有一人的身高在150—160之间的概率.

19.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C-PB-A的余弦值．（6分）

20.已知函数
.

(Ⅰ)当
时，
恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若对一切
，
恒成立，求实数的取值范围．

21.已知数列
的前n项和为构成数列
，数列
的前n项和构成数列
.

若
，则

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的通项公式.

答案

选择题：1. D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.B

填空题：11.
12。
13.
14.①③④ 15.

解答题：

16.(Ⅰ)∵cosA＝
＞0，∴sinA＝
，

又
cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝
cosC＋
sinC．

整理得：tanC＝
． 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC＝
．

又由正弦定理知：
，故
． (1)

由余弦定理得：cosA＝
． (2)

解(1) (2)得：
or b＝
(舍去)．∴ ABC的面积为：S＝
． 12分

17.解析：由题意知：联立方程组
，可得到两条直线的交点
的坐标为
，

因为所求直线与直线
平行，可以设所求直线的方程为
，

因为过
，所以
，即所求直线的方程为
．

（2）设与
垂直的直线方程为
，

因为过点
，代入得
,故所求直线方程为
．

18:(1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值,

所以中位数的估计值为
．

平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

则平均数的估计值为
．

(2)这
名学生中,身高在
之间的有个,分别为A,B,身高在150—160之间的有
人,分别为C,D,E,F,G,H,

则从这
人中任选个的所有基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,BC,BD,BE,BF,BG,BH,CD,CE,CF,CG,CH,

DE,DF,DG,DH,EF,EG,EH,FG,FH,GH共
个,

两个身高都在
之间的事件有AB共个,

所以至少有一个人在150—160之间的概率为
．

19：(1)证明　由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）

(2)　过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝
.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(
，0,0)，P(0,1,1)．

故C
＝(
，0,0)，C
＝(0,1,1)．

设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，则
所以

不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．

因为A
＝(0,0,1)，A
＝(
，－1,0)，

设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，

则

所以

不妨令x＝1，则n2＝(1，
，0)．

于是cos〈n1，n2〉＝
＝
.

所以由题意可知二面角C-PB-A的余弦值为
.

20.(Ⅰ)当
时，设
，分以下三种情况讨论：

(1)当
时，即
时，
在
上单调递增，
，

因此
，无解.

(2)当
时，即
时，
在
上单调递减，
，

因此
，解得
.

(3)当
时，即
时，
，

因此
，解得
.

综上所述，实数的取值范围是
. 6分

(Ⅱ) 由
得
，令
，

要使
在区间
恒成立，只需
即
，

解得
或
.所以实数的取值范围是
.

21.（1）当
时，
2分

当
4分

=

综上所述：
6分

（2）

7分

相减得：

=
10分

所以
12分

因此
14分