一、选择题（每小题5分，共50分）

1．已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“a不是正数，则它的平方等于0”，则是的（ ）

A．逆命题　　　 B．否命题 C．逆否命题　 D．否定

2．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含
个小正方形．

则
等于（ ）

A．39　　　 B．40

C．41　 D．42

4．设P为曲线C：
上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
，则点P横坐标的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若函数
的导函数为
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

6. 已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）

A．0 B．6 C．
D．30

7．设
大于0，则3个数：
，
，
的值（ ）

A．都大于2 B．至少有一个不大于2

C．都小于2 D．至少有一个不小于2

8．如果函数
的图象如右图，那么导函数
的图象可能是

（ ）

9．若函数
，则
（ ）

A．?1 B．0 C．1 D．2

10．设函数
在R上的导函数为
，且
，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）

A．
　　　 B．
C．
　 D．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．已知曲线
上一点P处的切线与直线
平行，则点P的坐标为 .

12．设
，…，
，
，则
.

13. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴同时建立极坐标系，若直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数），则在曲线
上点到直线
上点的最小距离为 .

14. 设
，若函数
，
有大于零的极值点，则a的取值范围是 .

15. 给出下列命题：

①命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”;

②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件;

③命题“?x∈R,使得x2+x-1<0”的否定是:“?x∈R,均有x2+x-1>0”;

④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题（共75分）

16．已知命题：方程
有两个不相等的实根；：不等式
的解集为R；若或为真，且为假，求实数m的取值范围．(12分)

17．求过曲线
上的点
的切线方程．(12分)

18．过点
的直线
与抛物线
交于、两点；

(Ⅰ)求线段
的长；(Ⅱ)求点
到、两点的距离之积；(12分)

19．数列
中，
，其前n项和
满足

；

(Ⅰ)计算
；(Ⅱ)猜想
的表达式并用数学归纳法证明．(12分)

20．设函数
．

(Ⅰ)对于任意实数，
恒成立，求的最大值；

(Ⅱ)若方程
有且仅有一个实根，求的取值范围．(13分)

21．已知函数

(Ⅰ)求
的极值；

(Ⅱ)若
在
上恒成立，求
的取值范围；

(Ⅲ)已知
(14分)

高二年级联考数学理科试卷答案(2013.12)

一、 B、A、C、A、D、 B、D、A、D、A

二、



④

三、16. 解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，

∴△1＝m2?4＞0，∴m＞2或m＜-2??????????????????

又∵不等式4x2+4（m-2）x+1＞0的解集为R，

∴△2＝16(m?2)2?16＜0，∴1＜m＜3????????????????……………4分

∵p或q为真，p且q为假，

∴p与q为一真一假，

（1）当p为真q为假时，

，解得m＜-2或m≥3．

（2）当p为假q为真时，

?1＜m≤2……………10分

综上所述得：m的取值范围是m＜-2或m≥3或1＜m≤2．……………12分

17. 解：设
为切点，则切线的斜率为

．……………2分

切线方程为
．……………4分

．……………6分

又知切线过点
，把它代入上述方程，得
．……………8分

解得
，或
．……………10分

故所求切线方程为
，或
，

即
，或
．……………12分

18. 解：点
在直线
上，直线
的倾斜角为
，所以直线
的参数方程为

，即
，

代入抛物线方程，得
，

设该方程的两个根为
、
，则
，

所以弦长为

.

.

19. (1)
，
，
，

(2)猜想

证明：(1)当
时，
命题成立；

（2）令当
时命题也成立，即
；

则
时，
命题成立

综上所述当
时，
；

20.解：(1)
, ……………2分

因为
,
, 即
恒成立, …………………………4分

所以
, 得
，即的最大值为
…………………………6分

(2) 因为 当
时,
;当
时,
;当
时,
;………………8分

所以 当
时,
取极大值
;

当
时,
取极小值
;…………………12分

故当
或
时, 方程
仅有一个实根. 解得
或
.……………13分

21.解：（Ⅰ）
令
得
……………2分

当
为增函数；

当
为减函数，

可知
有极大值为
…………………………4分

（Ⅱ）欲使
在
上恒成立，只需
在
上恒成立，

设

由（Ⅰ）知，
，

……………………８分

（Ⅲ）
，由上可知
在
上单调递增，